Prof. Dr. M. Joachim Blatt 12
Dr. T. Timmermann Keine Abgabe
timmermt@math.uni-muenster.de Keine Besprechung
Ubung zur Funktionentheorie ¨
Aufgabe 1. Zeigen Sie:
Z ∞
−∞
dt
(x2+x+ 1)2 = 4π 3√
3.
Aufgabe 2. Zeigen Sie:
Z 2π
0
dt
cos4(t) + sin4(t) =π√ 8
Aufgabe 3. Zeigen Sie:
(a) F¨ur jedes z ∈C\πZ ist cot0(z) =−sin−2(z).
(b) 1 2πi
Z
γ
1
sin(z) cos(z)dz = 27−26 = 1, wobeiγ: [0,1]→C, t7→42e2πit. Aufgabe 4. Sei f das Polynom z 7→z4+ 6z+ 3. Zeigen Sie, dass f
(a) in B2(0) genau vier, (b) in B1(0) genau eine,
(c) in B2(0)\B1(0) genau eine Nullstelle hat.
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Rouch´e und als Funktion g ein Polynom vom Grad 4 in (a) und vom Grad 1 in (b).)
