Dabei bezeichnet der Indexedie Strömungsgrößen am Grenzschichtrand. In der Herleitung der Grenzschichtgleichungen erster Ordnung ergibt sich aus der Abschätzung der Größenordnungen, dass in der Grenzschicht ∂p∂z ≈0gilt.

Man spricht davon, dass der Druck in der Grenzschicht von der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird. Daher wird hier nicht zwischenpund pe

unterschieden. Man erhält aus Gleichung 2.1.8 die Beziehung:

uc,e∂uc,e

∂xc

=−1 ρ

∂p

∂xc (2.1.12)

Die Druckverteilungp(xc)bestimmt also die Verteilunguc,e(xc)am Grenz-schichtrand. Durch Integration entlang der reibungslosen Grenzschichtrand-stromlinie aus der unendlichen Anströmung (mit Druckpund Geschwin-digkeituc,∞) bis zur Positionxc erhält man:

cp:=p(xc)−p

1

2ρu2c,∞ = 1−

uc,e(xc) uc,∞

2

(2.1.13) Durch den sehr kleinen wandnormalen Druckgradienten in der Grenzschicht entspricht der Druckp(xc)nahezu dem mit Druckbohrungen an der Wand messbaren Druck pW(xc). Gleichsam wird aus Gleichung 2.1.9 am Grenz-schichtrand folgende Aussage:

uc,e

∂vc,e

∂xc

= 0 (2.1.14)

Da am Grenzschichtrand |uc,e|>0gilt, ergibt sich

∂vc,e

∂xc = 0→vc,e=const.=vc,∞. (2.1.15) Die spannweitige Komponente der ungestörten Anströmung behält also am Grenzschichtrand ihren konstanten Wert entlangxc bei. Im Rest der Arbeit wird oft der Betrag der Grenzschichtrandgeschwindigkeitqe=q

u2c,e+vc,e2 als Bezugsgröße verwendet werden.

2.2 Lineare Stabilitätstheorie

Bei der Erforschung des laminar-turbulenten Umschlags wurde schnell klar, dass kleine anfängliche Störungen in der Grenzschicht eine wichtige Rolle spielen. Für die Arbeiten der frühen Zeit der Stabilitätstheorie sei vor allem

2.2 Lineare Stabilitätstheorie auf Reynolds [91] und Rayleigh [85] verwiesen. Zur theoretischen Behandlung des Transitionsprozesses im Rahmen der linearen Stabilitätstheorie wird die Strömung in eine Grundströmung und eine Störströmung aufgeteilt. Dabei wird die Annahme getroffen, dass in einer laminaren Grenzschicht den sta-tionären Geschwindigkeitskomponentenu¯,v¯undw¯ verhältnismäßig kleine Störanteileeu,evundweüberlagert sind. Eine Störströmung entsteht durch eine Anfangsanregung, welche stromab in ihrer Amplitude anwachsen oder abneh-men kann. Dieses Verhalten hängt von den Eigenschaften der betrachteten Grenzschicht ab. Wird eine Störung von der betrachteten Grenzschicht ange-facht und nimmt ihre Amplitude zu, ist die Grenzschicht instabil gegenüber dieser Störung. Ist die Störung hingegen durch die Grenzschicht gedämpft und ihre Amplitude nimmt ab, ist die Grenzschicht gegenüber dieser Störung stabil. Einen Überblick über die lineare Stabilitätstheorie geben bspw. Reed et al. [86]. Die Beschreibung in diesem Abschnitt beschränkt sich auf den Umfang, der für die Diskussion der experimentell beobachteten Auswirkungen von Instabilitätsmoden nötig ist.

Für die Herleitung der Stördifferentialgleichungen geht man für den hier betrachteten Fall von den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen aus, welche in dimensionsloser Vektordarstellung wie folgt lauten:

∂~q

∂t + (~q·∇)~~ q=−∇p~ + 1

Re∆~q (2.2.1)

mit der inkompressiblen Divergenzfreiheit:

∇ ·~ ~q= 0 (2.2.2)

Wie oben beschrieben, nimmt man an, dass der stationären Grundströmung

qeine Störströmung~

qeüberlagert ist, zu der auch ein Druckanteil gehört:

~

q=~q¯+~

eq (2.2.3)

p= ¯p+pe (2.2.4)

Man nimmt des Weiteren an, dass sowohl die stationäre Grundströmung als auch die Summe aus Grundströmung und Störströmung die Stokes-Gleichungen erfüllen. Setzt man Stokes-Gleichungen 2.2.3 und 2.2.4 in die Navier-Stokes-Gleichungen 2.2.1 ein und vernachlässigt nichtlineare Terme, erhält man die linearisierten Stördifferentialgleichungen:

2.2 Lineare Stabilitätstheorie

Die Stabilitätsuntersuchungen im Rahmen dieser Arbeit beschränken sich auf eine weitere Vereinfachung dieser Gleichungen, die lokale lineare Stabilitäts-analyse, welche oft mit „LST“ (-Analyse) abgekürzt wird. Dazu wird die sog.

Parallelströmungsannahme getroffen, welche von einer Grundströmung aus-geht, die nur vom Wandabstandzabhängt. Änderungen der Grundströmung inxc- undyc-Richtung werden vernachlässigt und es wird angenommen, dass die wandnormale Geschwindigkeitskomponente verschwindet (w¯ = 0). Diese Annäherung bedeutet, dass die Stabilität der Grenzschichtströmung an einer bestimmten Positionxc nur durch die dort lokalen Bedingungen bestimmt ist. Dann kann der Geschwindigkeitsanteil der Störungen mit folgendem Lösungsansatz dargestellt werden:

~

q(xe c, yc, z, t) =~q(z)ˆ ·ei(α0xc0yc−ωt)+c.c. (2.2.7) Dabei bezeichnet c.c. das komplex Konjugierte des ersten Termes, da die physikalische Störströmung reellwertig sein muss. Man betrachtet also die Störströmung als eine räumlich und zeitlich periodische Welle. Ihre Amplitude und wandnormale Struktur wird im Störansatz durch die Amplitudenfunk-tion ~qˆ= ~q(z) = (ˆˆ uc,ˆvc,wˆc)T beschrieben. Mit diesem Ansatz lassen sich die linearisierten Störgleichungen 2.2.5 und 2.2.6 mit geeigneten Randbedin-gungen als Eigenwertproblem formulieren. Die RandbedinRandbedin-gungen sehen eine verschwindende Störströmung sowohl an der Wand als auch in großem Wand-abstand vor. Im sog. räumlichen Problem ist die Kreisfrequenzω= 2πf rein reellwertig, währendα0 undβ0 im Störansatz komplexwertig sind. Der Imagi-närteil beschreibt jeweils das Wachstum der Störmode, welches im räumlichen Problem räumlich verläuft. In dem hier betrachteten Fall unendlich schie-bender Bedingungen verschwindet aber der Imaginärteil vonβ0 (=(β0) = 0) aufgrund der spannweitig invarianten Grundströmung. Die Kreisfrequenz und die spannweitige Wellenzahlβ =<(β0)werden reell vorgegeben und das komplexwertige α0 als Eigenwert ermittelt. Der Realteil von α0 entspricht der Wellenzahl der Periodizität entlang derxc-Richtung und der negative Imaginärteil von α0 beschreibt die räumliche Anfachungsrate der Störung in dieser Richtung. Im Folgenden wird für die Wellenzahl in xc-Richtung das Symbolα=<(α0)und für die Anfachungsrate das Symbolσ=−=(α0) eingeführt. Diexc-Position, an der die Anfachungsrate einer Instabilitätsmode ihr Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, also ab der diese Mode in der Grenzschicht angefacht ist, nennt man Neutralpunkt dieser Mode. Im Rahmen der Arbeit wurden mithilfe der für kompressible und inkompressible Strömungen anwendbaren Software NOLOT [45] lineare, lokale und parallele Stabilitätsuntersuchungen durchgeführt (siehe Abschnitte 3.2 und 6.2), bei denen der Normalmodenansatz aus Gleichung (2.2.7) verwendet wurde, um

2.3 Der querströmungsdominierte inkompressible Transitionsprozess

Im Dokument Beeinflussung des laminar-turbulenten Grenzschichtumschlags durch kontrollierte Anregung stationärer Querströmungsinstabilitäten (Seite 26-29)