5.1 Hitzdrahtmessungen
5.1.1 Kalibrierung und Auswertung
Mithilfe zweier Hitzdraht-Anemometer werden als Maß für die elektrische Heizleistung zwei Brückenspannungen E1 und E2 als Messsignale erfasst.
Unter der Annahme von vernachlässigbarem Wärmetransport senkrecht zur gemeinsamen Drahtebene enthalten diese Spannungen die Information über den GeschwindigkeitsbetragU der Anströmung und ihren AnströmwinkelφSo
in dieser Ebene. Um diese Information aus gemessenen Wertepaaren(E1, E2) auswerten zu können, ist eine eindeutige Abbildung(E1, E2)→(U, φSo)nötig.
Zum Herstellen dieser Abbildung wurden zwei unterschiedliche Verfahren implementiert und verglichen, welche in den nächsten beiden Abschnitten beschrieben werden.
Getrennte Kalibrierung von Geschwindigkeits- und Richtungsabhängigkeit
In früheren Arbeiten am DLR Göttingen, bspw. [93] und [76], wird eine getrennte Kalibrierung von Geschwindigkeits- und Richtungsabhängigkeit der Spannungen basierend auf physikalischen Modellen des konvektiven Wär-meabtransports verwendet. Die gesuchte Abbildung zwischen Anemometer-Brückenspannungen und Geschwindigkeiten wird im Wesentlichen durch Geschwindigkeitskoeffizientenci und Richtungskoeffizienten ai in Modellglei-chungen hergestellt, wie im Folgenden skizziert wird. In diesem Abschnitt wird die Herleitung dieser Abbildung aus [93] speziell für den in dieser Arbeit relevanten Fall der V-Draht-Sonden wiedergegeben, wobei lediglich die Ge-schwindigkeitskomponenten in der gemeinsamen Drahtebene berücksichtigt werden. Für die Bestimmung der Geschwindigkeitskoeffizienten lässt sich für jeden der beiden Drähte ein polynomieller Ansatz wie folgt aufstellen:
Uk∗=
4
X
i=0
ci·E∗i (5.1.5)
Dabei istUk die normierte effektive Kühlgeschwindigkeit des Drahtes, welche bei Anströmung entlang der Sondenachse der kalibrierten Anströmgeschwin-digkeitU entspricht. Die Normierung berücksichtigt den Winkel der Drähte zur Sondenachse und wird hier nicht weiter thematisiert. Sie wird von
Rose-5.1 Hitzdrahtmessungen mann im Detail beschrieben [93]. Dort trägt diese normierte Kühlgeschwin-digkeit den Indexe, welches hier zwecks Konsistenz vermieden wurde. Der Zusatz „∗“ bezeichnet eine Kompensation des Einflusses der Fluidtemperatur, welche wie folgt definiert ist:
E∗=
Der Index0 beschreibt einen bekannten Referenzzustand. Die sog. „Film-temperatur“ Tf entspricht dem Mittelwert aus Drahttemperatur TW und FluidtemperaturT:
Tf = Tw+T
2 (5.1.8)
Dabei muss die FluidtemperaturT unabhängig gemessen werden. Die Draht-temperaturTW ergibt sich aus dem sog. „Überhitzungsverhältnis“ χ, welches am Anemometer eingestellt wird. Es beschreibt, wie stark der Widerstand des Drahtes im geheizten Zustand und damit die Drahttemperatur im Vergleich zum Referenzzustand erhöht wird (mit dem materialspezifischen Tempera-turkoeffizientenξ):
Die vier Koeffizientenci können für jeden Draht bestimmt werden, indem die Sonde bei einem konstanten Sondenschiebewinkel vonφSo= 0° mehreren bekannten Anströmgeschwindigkeiten ausgesetzt wird. Mit einem Anpassungs-algorithmus basierend auf der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate wird dann das Polynom 5.1.5 an die gemessenen Spannungen E∗ und die Werte vonUk∗ angepasst.
Für die Richtungsabhängigkeit der Sonde wird zunächst für beide Drähte unabhängig folgender Ansatz gemacht:
Uk2=a1u2+ 2a2uv+a3v2 (5.1.12) Bei einer konstanten und bekannten AnströmgeschwindigkeitU wird diese anhand des variierten WinkelsφSoin Komponentenuundvzerlegt. Für den
5.1 Hitzdrahtmessungen
jeweiligen Winkel wird mithilfe der Geschwindigkeitskalibrierung und der gemessenen Spannungen die Kühlgeschwindigkeit Uk bestimmt. Nun lassen sich die die drei Richtungskoeffizientenaij (j= 1,2,3)für den jeweiligen Draht imit einem Anpassungsalgorithmus basierend auf der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate gemäß Gleichung 5.1.12 bestimmen.
Misst man mit der kalibrierten Sonde nun Brückenspannungen E1und E2, kann man mithilfe der kalibrierten Geschwindigkeitskoeffizienten und Glei-chungen 5.1.5, 5.1.6 und 5.1.7 normierte Kühlgeschwindigkeiten Uk1 und Uk2 für die beiden Drähte errechnen. Mit den nun gesuchten Komponenten uSo=UcosφSo undvSo=UsinφSo schreiben wir Gleichung 5.1.12 als: mit dem Geschwindigkeitsbetrag U und dem Schiebewinkel φSo der An-strömung aus Sicht der Sonde. Durch Elimination von U ergibt sich eine quadratische Gleichung fürtanφSo:
d3tan2φSo+ 2d2tanφSo+d1= 0, (5.1.17) Somit ergeben sich zwei Lösungen fürφSo, aus denen eine ausgewählt werden muss. Die Auswahl wird insbesondere anhand des Gültigkeitsbereichs der Sonde getroffen, mit dem gewisse Wertebereiche von φSo ausgeschlossen werden können, siehe [93]. Die beiden Lösungen lauten
φ1,2So = arctan
Der GeschwindigkeitsbetragU der Anströmung ergibt sich mit dem bekannten φSo nun gleichermaßen aus Gleichung 5.1.15 oder 5.1.16.
5.1 Hitzdrahtmessungen Der Vorteil dieser Kalibrier- und Auswertemethode besteht darin, dass die Geschwindigkeitsabhängigkeit nur bei einem einzelnen Anströmwinkel der Sonde und die Richtungsabhängigkeit nur bei einer einzelnen Anströmge-schwindigkeit kalibriert werden muss. Die Methode erfordert daher weniger zeitaufwendige Kalibriermessungen als die im Folgenden beschriebene Metho-de.
Interpolationsmethode
Eine weitere Möglichkeit, eine eindeutige Abbildung (E1, E2) → (U, φSo) herzustellen, ist die Verwendung einer möglichst detaillierten Datenbank der beteiligten Größen. Dazu wird die V-Draht-Sonde systematisch mehreren bekannten Anströmgeschwindigkeiten und -winkeln in dem für Messungen relevanten Bereich ausgesetzt und die Brückenspannungen E1 und E2 ge-messen. Aus der entstandenen Datenbank kann dann bei der Messung von SpannungenE1und E2die Anströmgeschwindigkeit und der Anströmwinkel zweidimensional interpoliert werden. Um den Aufwand zu reduzieren, wird für die Variation der Anströmgeschwindigkeit eine Verteilung mit vergleichsweise wenigen Stützstellen gewählt, zwischen denen interpoliert werden soll. Dafür wird für jeden kalibrierten Winkel an die kalibrierten WerteEi(U), i= 1,2 das sog. Kingsche Gesetz (Gleichung 5.1.20), welches aus physikalischen Überlegungen zum erzwungenen konvektiven Wärmeabtransport hergeleitet werden kann (siehe z.B. [78, 93]), angepasst. Diese Anpassung geschieht mithilfe eines Algorithmus zur Minimierung der Summe der Fehlerquadrate.
Ei+2=Ai+BiUni (5.1.20) Der hochgestellte Zusatz „+“ bezeichnet eine Temperaturkompensation der SpannungEi, welche von derjenigen im vorigen Teilabschnitt abweicht. Dort wurde ein Einfluss der Fluidtemperatur sowohl in der Spannung als auch in der Kühlgeschwindigkeit des jeweiligen Drahtes kompensiert. Für jeden einzelnen der beiden Drähte wurde einer Spannung eine Kühlgeschwindigkeit zugeordnet. Die Temperaturkompensation für Spannung und Kühlgeschwin-digkeit konnte für beide Drähte unabhängig erfolgen (Gleichungen 5.1.6 und 5.1.7). Bei der Interpolationsmethode hingegen wird der Einfluss der Fluid-temperatur nur anhand der jeweiligen Spannung kompensiert (siehe bspw.
[78]), da dem korrigierten Spannungspaar direkt eine einzelne Anströmungs-geschwindigkeit (und eine Anströmungsrichtung) zugeordnet wird:
Ei+= s
Ei2TW,i−T0
TW,i−T (5.1.21)
5.1 Hitzdrahtmessungen
Prallplatte
Siebe Düse
Druckluft
680mm
210mm
Druckregelventil
Abbildung 5.1.4: Querschnittsskizze des Hitzdrahtkalibrators
Dabei entsprichtT wieder der Fluidtemperatur während der Messung,TW,i der jeweiligen Drahttemperatur undT0 der Fluidtemperatur während der Kalibrierung. Um bei der Auswertung physikalisch motiviert entlang der Anströmgeschwindigkeit interpolieren zu können, werden mithilfe von Glei-chung (5.1.20) für jeden kalibrierten Winkel feiner verteilte Werte von Ei(U), i= 1,2 berechnet als die tatsächlich kalibrierten Wertepaare. Aus der so entstandenen Datenbank von Wertepaaren (E1, E2)und zugehörigen (U, φSo)wird dann bei einer Messung mit der kalibrierten Sonde zu gemessenen Spannungen der zugehörige Betrag von Anströmgeschwindigkeit und -winkel mithilfe des 2D-Interpolationsalgorithmusgriddata aus der Software-Bibliothek SciPy[110] interpoliert, wobei eine kubische Polynomialinterpola-tion [3, 32] gewählt wurde.
Der Nachteil dieser Kalibrier- und Auswertungsmethode gegenüber der ge-trennten Kalibrierung von Geschwindigkeits- und Winkelabhängigkeit ist der deutlich höhere Zeitaufwand der Kalibrierung, da eine zweidimensionale Variation von U und φSo durchgeführt werden muss. In Abschnitt 5.1.6 werden beide Methoden bzgl. des erwarteten methodischen Fehlers verglichen.
Begründet durch das Ergebnis des Vergleichs wurde im Rahmen dieser Arbeit zur Auswertung der Hitzdrahtmessungen ausschließlich die Interpolationsme-thode eingesetzt.