Einführung in die Meteorologie (met110)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met110)

- Teil III: Strahlung-

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III.3 Berechnung der

Strahlungsübertragung in der Atmosphäre und optische Phänomene

•  Die Divergenz des Strahlungsflusses bestimmt Erwärmung oder Abkühlung einer Luftschicht durch Absorption und Emission von Strahlung.

•  Das Gesetz von Beer-Bouguer-Lambert beschreibt die

exponentielle Abnahme der Strahlungsintensität beim Durchgang durch die Atmosphäre durch Absorption und Streuung.

•  Die Strahlungsübertragungsgleichung (SÜG) beschreibt

vollständig die Veränderung der Strahldichte entlang eines Weges durch die Atmosphäre.

•  Optische Phänomene in der Atmosphäre (z.B. blauer Himmel, rote Sonne, Brechung, Regenbogen, Halo, und Glorie werden

vorwiegend durch Streuung von Strahlung verursacht).

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Strahlungsdivergenz und Erwärmung/Abküh-

lung der Luft ^• Die beiden gezeichneten Fälle seien Beispiele für die vertikale Veränderung der Nettostrahlungs- flussdichte F (F ^é (Strahlungsflussdichte nach oben)– F ^ê (nach unten)) in der Atmosphäre.

Achtung: Wir vernachlässigen horizontale Gradienten.

•  In beiden Fällen wird zwischen z ₁ und z ₂ netto Strahlung absorbiert (es geht mehr rein als raus), also erwärmt sich (diabatischer Term des 1.

Hauptsatzes) die Luftschicht.

•  Es kommt also zur Strahlungsabsorption, wenn F (sei positiv wenn nach oben gerichtet) mit z ab-

nimmt. Es gilt genauer (Einheiten!) mit ρ Luftdichte und c _p =1005 J/(kg K) spezifische Wärmekapazität der Luft bei konstantem Druck:

z ₂

z ₁

Fall 1 Fall 2 F(z ₂ )

F(z ₁ )

∂T

∂t

"

# $ %

&

'

durch Strahlung

= − 1 ρ ^c _p

∂F

∂z

Verifiziere: Wenn die Troposphäre (ca. 10 km dick, mittlere Dichte ca. 0.5 kg/m ³ ) 50% der solaren Einstrahlung bei wolkenfreiem Himmel (ca. 1000 W/m²) absorbiert, dann erhöht sich die Temperatur der Atmosphäre pro Stunde um ca. 0,36 K.

F ^↓

F ^↑

F ^↓

F ^↓

F ^↓

F ^↑ F ^↑

F ^↑

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Gesetz von Beer-Bouguer-Lambert (1)

•  Betrachte ein Medium aufge- baut aus N sehr dünnen Schichten der Dicke Δs mit vollständig absorbierenden Partikeln mit Querschnitt Q _e [Q _e ]=m ² ) und Partikeldichte n ([n]= Partikel/m ³ ).

•  Wir betrachten die Abschwäch- ung der Strahldichte I beim Durchgang durch das Medium.

•  Zunächst betrachten wir nur den Durchgang durch eine dünne Schicht – die Abschwächung muss dann proportional der Länge Δs und nQ _e sein.

•  Es folgt eine exponenzielle Abwächung der Strahldichte

mit dem Weg s. ^{I (s) = I}

^lim

^{1 − nQ}

s N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

N

≡ I

e

→ dI

ds = − nQ

I I

I

I

I

I

Δs

s

...

I

= I

− I

nQ

Δ s = I

( 1 − nQ

Δ s )

I

= I

( 1 − nQ

Δ s ) ^{= I}

( ^{1 − nQ}

^{Δ s} ) ( ^{1 − nQ}

^{Δ s} )

= I

( 1 − nQ

Δ s )

…

I

= I

( 1 − nQ

Δ s )

^{= I}

^⎛ _⎝ ^{⎜ 1 − nQ}

_N ^{s ⎞} _⎠ ^⎟

N

mit Δ s = s

N

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Gesetz von Beer-Bouguer-Lambert (2)

σ

= nQ

= ρ ^k

^{mit k}

Massenextinktionskoeffizient in m

/kg, ρ ^Dichte

σ

^s = ρ ^k

^s = δ δ optische Dicke oder optischer Weg (dimensionslos) Weitere Bezeichnungen und Größen:

Mit der Bezeichnung nQ

= σ

Volumenextinktionskoeffizient und ^⎡ _⎣ σ

^⎤ _⎦ = m

folgt aus

I(s) = I

lim

N→∞

1 − nQ

s N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

N

≡ I

e

≡ I

e

→ dI

ds = − σ

^I

I

I

I

I

I

Δs

s

...

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Strahlungsübertragungsgleichung (a)

ds I _λ (s, Ω)

I _λ (s+ds,Ω)

I _λ (s, Ω‘) B _λ (s(T)

Die Strahlungsübertragungsgleichung erweitert das Beer-Bouguer-Lambertsche Gesetz um die Effekte von Emission (Planck und Kirchhoff) und Streuung

(Umlenkung von Ausbreitungsrichtungen).

Der Extinktion der Strahldichte durch Streuung (Ablenkung aus der Ursprungsrichtung) und Absorption nach dem Beer-Bouguer-Lambert- Gesetz stehen zwei Strahlungsquellen

gegenüber:

a)  Emissionsstrahlung nach dem Planckschen und dem Kirchhoffschen Gesetz, und

b)  Streustrahlung, die aus allen anderen Richtungen in die betrachte Richtung umgelenkt wird.

Alles wird kombiniert in der

Strahlungsübertragungsgleichung auch

Schuster-Schwarzschild-Gleichung

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Strahlungsübertragungsgleichung (b)

dI _λ (s, Ω )

ds = − σ _e,λ ^(s)I(s, Ω ) + σ _a,λ ^(s)B _λ ^{( T (s))} + σ _s,λ ^(s)

4 π ₄ ! ∫ _π ^{P λ (s, Ω ← Ω ')I λ (s, Ω ') d Ω '}

ds I _λ (s, Ω)

I _λ (s+ds,Ω)

I _λ (s, Ω‘) B _λ (s(T)

Ω Ω‘

mit

σ _a Volumenabsorptionskoeffizient

σ _s Volumenstreukoeffizient (σ _e = σ _a + σ _s ) P Streuphasenfunktion

(Wahrscheinlichkeit, dass ein Strahl aus der Richtung Ω‘ kommend in die Richtung Ω umgelenkt wird).

Die SÜG kombiniert die Gesetze von Beer-Bouguer- Lambert, Planck und Kirchhoff in einer

Energiebilanzgleichung.

Die SÜG gilt nur monospektral, das heißt nur

für ein unendlich feines Wellenlängenintervall.

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Optische Erscheinungen in der Atmosphäre durch Streuung/Beugung/Brechung

•  Die häufigsten optischer Erscheinungen in der Atmosphäre wie Regenbögen, Halos, Glorien, Heiligenscheine und blauer Himmel lassen sich durch sogenannte Einfachstreuung (nur ein

Streuereignis) erklären.

•  Die Streuung von Strahlung an Partikeln lässt sich je nach Verhältnis zwischen Partikelgröße und Wellenlänge in Rayleigh-Streuung und Mie-Streuung und geometrische Optik einteilen.

•  Sind Partikel viel größer (>1000) als die Wellenlänge, so gelten annähernd die Gesetze der geometrischen Optik. Lichtbrechung und Lichtreflexion an Grenzflächen unterschiedlicher Medien sind typische Erscheinungen, die zur Änderung der Strahlrichtung und (nur bei Brechung) zu farbigen Ringen führen (Regenbögen).

•  Lichtbeugung an Grenzen sehr großer Partikel führt durch Interferenz zu farbigen Ringen (Glorie, Heiligenschein).

•  Beugung und Brechung sind auch als Streuerscheinung

interpretierbar .

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Rayleigh- und Mie-Streuung (a)

Das oszillierende elektromagnetische Feld der Strahlung regt in allen dielektrischen Medien (Ladungstrennung bei angelegtem e.m. Feld)

elektrische Dipole und Multipole zum Schwingen an.

Die Strahlung des dabei erzeugten schwingenden e.m. Felder nennt man Streustrahlung.

Je nach Größe des (dielektrischen) Teilchens relativ zur Wellenlänge weist die Streustrahlung eine charakteristische wellenlängenabhängige und

winkelabhängige Verteilung auf.

Sind die streuenden Teilchen viel kleiner als die Wellenlänge, so dominiert die Dipolstreuung und der Streukoeffizient σ _s ist proportional zu λ ^-4 (Rayleigh- Streuung).

Sind die Teilchen in der Größenordnung der Wellenlänge und größer, so

überlagern sich die Streustrahlungen der einzelnen Dipole im Teilchen; die

Wellenlängenabhängigkeit des Streukoeffizienten ist schwächer (λ ^-1,3 ) und

zeigt dominierende Vorwärtsstreuung (bei Kugeln Mie-Streuung).

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Rayleigh- und Mie-Streuung (b)

Rayleigh-Streuung

Wellenlänge >> Partikeldurchmesser

Mie-Streuung

Wellenlänge ~ Partikeldurchmesser

Bei sichtbarem Licht gilt dies für die Luftmoleküle.

Rayleigh-Streuung erzeugt das Himmelsblau da Blau (kurze Wellenlänge) an den Molekülen

stärker gestreut wird als Rot (lange Wellenlänge).

Aus dem gleichem Grunde erscheint die

untergehende Sonne orange (denn Blau ist aus dem Lichtpfad von der Sonne zum Beobachter herausgestreut).

Rayleigh-Streuung ist polarisiert (nur eine

Polarisationsrichtung) insbesondere rechtwinklig zur Sonnenstrahlrichtung

Bei sichtbarem Licht erfolgt Mie-Streuung z.B.

durch Dunst (gequollenen Aerosole), aber vor allem durch Wolkentropfen (Durchmesser ca. 10 µm).

Mie-Streuung erscheint wegen der recht schwachen Wellenlängenabhängigkeit weiß.

Daher sind Wolken und Dunst im Sonnenlicht

weiß oder grau.

χ  = 30

100

10000 (logaritm.

Skalierung der Intensitäten)

Rayleigh- und Mie- Streuung (c)

Streuphasenfunktion einer Wasserkugel im sichtbaren

Spektralbereich für unterschiedliche Mie-Parameter

χ = 2 π Radius / Wellenlänge:

Richtungsabhängigkeit der Streuung (Phasenfunktion p) bei verschiedenen Kugeldurchmessern

•  Achtung: logarithmische Koordinate ab χ > 10 !

•  Zunahme der Vorwärtsstreuung mit zunehmendem χ .

•  Ab χ >3 Bildung von Nebenkeulen Interferenzen

•  Mit weiter zunehmendem χ sich Korona (z.B. Mondvorhof), Glorie (Heiligenschein) und Regenbögen aus (geometrische Optik).

(a us Bo hre n and Clothiaux , 2 00 6)

χ   = 0,1

1

3

10

Bedeutung der Streuung in Abhängigkeit von Wellenlänge und Partikel

Mie-Parameter χ = 2 π Radius / Wellenlänge

Wellenlänge λ

Partikel- radius

VIS IR Mikrowelle Regen

Niesel Wolken Aerosol

Moleküle

Rayleigh

- Partikel klein gegen λ - Form spielt keine Rolle

Mie

- Partikel ähnlich groß wie λ - starke Wechselwirkungen

- Nur Kugeln und Ellipsoide

sind exakt beschreibbar.

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Lichtbrechung (a)

Sonne (oder ein Gegenstand am Horizont) erscheint höher als in Wirklichkeit. Die

scheinbare Abplattung von Sonne und Mond entsteht durch die Abhängigkeit der Krümmung vom Winkel.

rot grün blau

Der grüne Strahl („seltenes“

Phänomen) entsteht durch die

Wellenlängenabhängigkeit der

Brechung. Man müsste bei

Sonnenuntergang zuletzt Blau

sehen, sieht aber Grün, da Blau

schon rausgestreut ist (Rayleigh-

Streuung)

Lichtbrechung (b)

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15

Lichtbrechung (c)

G B

1 wärmere Luft 2

kältere Luft

G'

G B

oben warm

unten kalt

1 2 3

G B

3 3 2

2

1 1

Unterschiedliche Strahlwege des Lichtes resultieren durch Gradienten im Brechnungsindex der Luft, z.B. durch Temperaturgradienten.

Diese führen zu mehreren Bildern von Gegenständen im Auge an

unterschiedlichen Orten (Spiegelung des Himmels an heißen

Straßen, Fata Morgana).

Lichtreflexion (subsun)

•  Spiegelnde Reflexion der Sonne an horizontal

orientierten Eisteilchen

http://www.cs.cmu.edu/~zhuxj/astro/html/Subsun.html 16

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Regenbogen Der innere Regenbogen entsteht durch einmalige interne Reflexion der Sonnenstrahlung im Tropfen während der äußere Regenbogen durch zweifache interne Reflexion entsteht.

Hinzu kommt eine Fokussierung der Strahlen bei einem minimalen Ablenkungswinkel (erhöhte

Helligkeit).

Die Farben kommen durch die

Brechung beim Ein- und Austritt der Strahlen in bzw. aus dem

Regentropfen.

Die „zusätzlichen“ Regenbögen

unter dem Hauptregenbogen sind

Interferenzerscheinungen.

Regenbogen – Ray-Tracing Ergebnisse

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Innerer Bogen Äußerer Bogen

Links: Verbiegung der Wellenfront führt durch

Interferenzen zu den sekun- dären Bögen unter dem Hauptbogen.

Rechts: Statistik der Ray

Tracing Ergebnisse mit

Maxima an den Bögen und

dunklem Band zwischen den

Bögen

Regenbogenfarben

Quelle: http://apollo.lsc.vsc.edu/classes/met130/notes/chapter19/secondary.html 19

Da längerwellige Strahlung weniger stark gebrochen wird als

kürzerwellige Strahlung, ist der innere Regenbogen außen rot und der

äußere violett.

Quelle: http://webneel.com/beautiful-rainbow-photography

Überzählige Regenbögen

http://de.wikipedia.org/wiki/Regenbogen

http://schulphysikwiki.de/index.php/

Interferenz; Überlagerung_von_Wellen

durch Interferenz

Zusammenfassung

hell relativ hell

dunkel

außen rot innen blau

außen blau innen rot

© Wellerding, 2014

Alexanders dunkles

Band

überzählige

Regenbögen

24

Halo

25

Halo

Er ist innen dunkel und aussen hell!

Eine sehr schöne und umfassende

Erläuterung zu Halos findet man bei

https://www.meteoros.de/themen/halos/

Halo am Matterhorn

26

http://www.lokalkompass.de/xanten/natur/eher- selten-beidseitige-nebensonne-in-

regenbogenfarben-d210736.html Nebensonnen

http://www.lokalkompass.de/xanten/natur/eher-selten-beidseitige-nebensonne-in-regenbogenfarben-d210736.html

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Lichtbeugung und andere Effekte

•  Kränze (Korona) um Sonne und Mond (Höfe) entstehen durch Beugung an Wassertropfen und Eispartikeln (analog zur Beugung am Spalt).

–  Höfe sind umso größer je kleiner die Partikel sind.

–  Höfe sind innen blau und außen rot (wie beim Regenbogen, also anders als beim Halo).

•  Glorien (Heiligenschein) sind ringartige Erscheinungen um den Gegenpunkt zur Sonne (also um den Schatten).

–  Sie hängen nur indirekt mit Beugung zusammen.

–  Man benötigt die Mie-Theorie zu ihrer vollständigen Erklärung.

–  Wie die Höfe hängt ihr Radius von der Größe der Wolkentropfen ab.

•  Der „trockene“ Heiligenschein hat andere Gründe.

Beugung an Gegenständen - Elementarwellen

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http://www.mbaselt.de/licht/draht.htm https://uwe.ohse.de/o7991-beugung

http://www.physik.wissenstexte.de/beugung.htm

Korona

(Kranz, Hof)

Glorie

(Heiligenschein)

32

Trockener Heiligenschein

33

Übungen zu III.3 (1)

1.  Ein Gas habe einen Massenextinktionskoeffizienten von 0.1 m ² kg ^-1 für alle Wellenlängen. Die Streuung sei vernachlässigbar ebenso wie die Emission.

a)  Welcher Bruchteil eines Strahls wird absorbiert, wenn er vertikal durch eine Schicht geht, die u=1 kg m ^-2 (Absorberweg u=ρs mit ρ Dichte und s Dicke der Schicht) des Gases enthält?

b)  Wie groß ist die optische Dicke der Schicht?

c)  Wieviel Gas (in kg/m ² ) benötigt man in der Schicht, um den Strahl beim Durchgang um die Hälfte zu schwächen?

2.  Der Rauch einer Zigarette erscheint blau, wenn er sofort wieder ausgeblasen wird, dagegen weiß, wenn er für längere Zeit im Mund behalten wird. Warum?

3.  Warum sind der Himmel blau, die Wolken weiß, die Sonne rötlich, der innere Regenbogen außen rot?

4.  Wie verändert sich die Himmelshelligkeit mit abnehmendem Blickwinkel zur Sonne (vom Sonnenrand nach außen) bei Reinluft (keine Aerosole,

z.B.Hochgebirge) und bei Dunst (siehe Mie-Phasenfunktion)?

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Tutorium zu III.3

1.  Die Troposphäre (ca. 10 km dick) absorbiere ca. 20% der solaren

Einstrahlung (diese sei ca. 1000 W/m²). Um wie viele Kelvin erhöht sich die dann die Temperatur der Atmosphäre in etwa pro Stunde?

2.  Wo steht die Sonne, rechts oder links von diesem optischen Phänomen?

Um welches optisches Phänomen handelt es sich?

3.  Warum sind die Höfe innen blau und außen rot?

4.  Warum ist die Zone zwischen innerem und äußerem Regenbogen meist

deutlich dunkler als anderswo?