Einführung
in die Meteorologie
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre -
Clemens Simmer Meteorologisches Institut
Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2005
Wintersemester 2005/2006
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung
– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern
– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung – ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren durch
– Divergenz – Rotation
– Deformation
IV.1 Kinematik
IV.1 Kinematik
• Divergenz
• Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung
• Rotation und Zirkulation
• Natürliches Koordinatensystem
• Stromlinien und Trajektorien
IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit
y v x
v u v
div
z w y
v x
u u v
v div
H H
i i
x
< 0 > 0 < 0
t=0 t=t 1
Bei Beschränkung auf die
horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang
zwischen Strömungsfeld und Divergenz unmittelbar deutlich.
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz,
negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.
Beispiele zur Divergenz
1 1
1 1
1 1 1
) 0 1
( )
1 ( )
1 ( 1
1 1
s
z ms y
ms x
v ms ms
ms ms
v
1 1
1 1
3
s
z z y
y x
v x ms
z ms y
ms x
v
L x L
u x
L u x
L v u x
v
cos 2 2
sin 2
0 0 sin 2
0 0 0
0 0
sin 2
0
0
v
L v x
u
v
L/2 L
L/4 L/2
Divergenz und Massenerhaltung (1)
Dichte und
Masse mit
) (
fest,
Volumen dem
aus nfluss
Nettomasse
m
V t t
V t
M m
kg/s [M]
V M
V,m,ρ=m/V M i
kg/m³
m² m/s kg/s
heraus V
aus Fluss
wenn 0
M
i Randfläche beliebige
eine durch
s Massenflus
i v F F i
i
Ein Nettomassenfluss M durch die festen
Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit
Dichteänderung innerhalb des Volumens.
Divergenz und Massenerhaltung (2)
x
y z
Δy Δz
Δx
r 0
Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu den Koordinatenachsen
w v
w v
v v
v v
u v
u v
F F
F F
F F
z z
y y
x x
F F
F F
F F
z z
y y
x x
, ,
,
, ,
, ,
,
V
x z u
y x z y x x
u
z x y
z y x x
z u y x x u
z y x x
z u y x u
z y z
x y x
u z
x y x
u M
M M
M M
M M
M M
M
x x
x
M z z
M y y
M x x
y z x
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
, ,
, 2 , ,
2 , ,
, ,
,
Punkt zentralen
um
g Entwicklun -
Taylor
, 2 ,
, 2 ,
nfluss Nettomasse
Divergenz und Massenerhaltung (3)
x
y z
Δy Δz
Δx
r 0
analog für die zwei anderen Richtungen, also insgesamt:
,
, V
z M w
y V M v
x V
M x u y z
v V
V w
v u
z y x
z V w y
v x
u
M M
M t V
M x y z
v
t
Kontinuitätsgleichung
(Massenerhaltung)
Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung
v
t t v dt
d
Advektionsgleichung für ρ:
Eulersche Kont‘gleichung:
Umrechnung:
v v
v
v dt v
d
v dt v
d t
el Produktreg
Lagrangesche Kont‘gleichung v dt
d
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder zusammen- pressen noch auseinander ziehen. Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte)
• Wasser ist mit guter Näherung inkompressibel.
• Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.
keine Ausdehnung beim Aufsteigen
Unendliche Schallgeschwindigkeit
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei geringen
Vertikalauslenkungen, z.B. in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich: 0 v 0 dt
d
!!
! 0
t
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit
• Wenn wir annähernd Inkompressibilität annehmen können, dann folgt aus dem Zusammenströmen von Luft z.B. in der Horizontalen (horizontale
Konvergenz ), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.
• Geschieht die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen.
bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber.
bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.
y
v x
u z
w z
w y
v x
v 0 u 0
• Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.
h v
h w
h y dz
v x
u dz h
y v x
dw u h
w
h H H
h h
h
) (
) (
Divergenz e
horizontal höhen - gemittelte 0
0 0
1
Kont‘gleichung im p-Koordinatensystem
Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung
annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen (Veränderlichkeit) hat das p- Koordinatensystem aber den großen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung besonders einfach aussieht.
Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr) durch die Luftbewegung:
g
y p x z
y x
V
Für die Massenänderung gilt unmittelbar:
g
p y x dt
V d dt
d dt
dm 0
0
: ildung Grenzwertb
bei h schließlic und
mit
0
1 1
1 1
1 0 1
) / /(
0
p p v p
y v x
u
dt dp p
y v x
u
dt dp p
dt dy y
dt dx x
dt p d p dt
y d y dt
x d x
g p y g x
y x dt
p d g
p x dt
y d g
p y dt
x d
Dann gilt der Zusammenhang von letzter Seite
formal ohne Annahme der Inkompressibilität!
Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs
H T
• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken
• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.
Konvergenz und Konfluenz
• Von Null verschiedene (3-dim) Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.
• Bei zweidimensionaler Divergenz (z.B. horizontale Divergenz) gilt der Zusammenhang mit Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was vertikal passiert.
• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz) bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-
richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschindigkeit).
• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein!
2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber
verschwindender Divergenz (angedeutet durch
gleichbleibendes Volumen)
Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t)
) )
)
0 )
( mit
) (
z b c
H H
a H H
z z
H z
z
z
w g dz
v v
t g p
z dz g w
dz v g
dz v g
t dz t g
p
p dz
g z
p gdz
dp
Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:
a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber b) horizontale Konvergenz in der Luft darüber
c) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z
Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss
• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder den Gitterpunkten des Modells.
• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.
• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die räumlich gemittlelte Divergenz eines Windfeldes.
• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen Formulierung
F n F
H
dxdy
H H
F H H
ds F v
ds n F v
dxdy F v
v D
1 1
: 1
Gauss von Satz
x y
F
ds
. v H
H n n v v n
Bestimmung der mittleren Divergenz bei kartesischen Gittern
x y
F a
b c
d Δx
Δy
Komponente -
u
gemittelte a
über 1
mit
1 1
a a a
d c
b a
d d c
c b
b a
a
dy y u
u
x v y u x v y y u
x
dx v dy
u dx
v dy
F u D
Die seien Stationspositionen an denen der Wind gemessen wird.
Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen verbindet.
c a v d v b
u y x u
D
1 1
Übung zu IV.1.1
x y
F a
b c
d Δx=100 km
Δy=50 km 4 m/s, 60°
10 m/s 90°
4 m/s, 120°
8 m/s 90°
1. Bestimme die mittlere horizontale Divergenz für nebenstehende Beobachtungen
2. Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s.
Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?
4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es
herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in
mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser
sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die
Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).
IV.1.2 Rotation und Zirkulation
• rot-Operator
• absolute und relative Geschwindigkeit
• Zirkulation als integrales Maß der Rotation
• Vorticity
• natürliches Koordinatensystem
• Zusammenhänge zwischen
Vertikalgeschwindigkeit, Divergenz und
Vorticity
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
zeta eta
xi
y u x
v x
w z
u
z v y
w
w v
u
k j
i u
w v u v
rot
v ijk j k x y z
z y x
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und hängen u und v nur von x und y ab (keine Änderung mit der Höhe), dann gilt offensichtlich:
y
u x
k v k
v
x y
.
Offensichtlich ist die Rotation aus der
Zeichenebene zum Be- obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein achsialer Vektor.
Da die Luftströmung i.w. horizontal ist hat ς eine besondere Bedeutung in der Meteorologie.
v y k
u x
v
Beispiele
0 0
0
y u v
y u x
v x
w z
u
z v y
w v
0
0 0 -u v
0
x
y v
2 0 0 - v
0
sin 2
0
0
L
v x
u
v
L x L
v v
2
2 cos 0 0
0
L/4 L/2
Absolute und Relative Geschwindigkeit
Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit v a ).
Diese Unterscheidung ist wichtig, da nur für letztere das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine absolute Geschwindigkeit.
v v
v v
v v
a a
a a a
gkeit Geschwindi
relative
gkeit Geschwindi
absolute
Die Operatoren sind über räumliche
Ableitungen definiert. Offensichtlich kann
sich auch der Operator ändern, wenn
man von einem Bezugssystem zum
anderen geht.
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde
Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur um sich selbst).
Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem (Inertialsystem) eine Kreisbahn.
Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert.
Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn ist die Mitführungsgeschwindig- keit; sie ist von der Breite abhängig
rad/s 10
2722 ,
24 7 60
60
2 5
dt
d
R
φ λ
v R R=r cosφ
r
v R
ds=Rdλ dλ
R
m
r v
i r
m R
dt i R d dt i
v ds
R R
cos
Rotation der Absolutgeschwindigkeit
Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt:
r v
v a
Für die Rotation gilt:
) ( )
( ) ( ) ( aus
2
r r
r r
r
a v r v
v
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation
rameter Coriolispa
sin
2
Vorticity relative
Vorticity absolute
mit
f
f a
a
Breite he
geografisc
und
mit
sin 2
2
k v
k v
k a
a
Vorticity und Coriolisparameter
rameter Coriolispa
sin
2
Vorticity relative
Vorticity absolute
mit
f
f a
a
Pol
Äquator
z k
f ist der Teil der Rotation, der durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).
Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie der der Erde, nennt man das zyklonal.
Zyklonal heißt also:
auf der NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv auf der SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ.
Die absolute Vorticity ist regional eine Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und bestimmt so entscheidend die
Wirbelstruktur der großräumigen
atmosphärischen Bewegung mit.
Vorticity und Zirkulation
So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation (Vorticity) als differentieller Operator ebenfalls ein
integrales Äquivalent in der Rotation C durch den Stokesschen Satz:
) (
) (
cos
F L
F L
dl v
l d v
C
F L(F)
α d l v
F
rot v d F l
d v
C
F F
L
Stokes von ) Satz
(
Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem
Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.
Vorticity und Zirkulation
rot v d F l
d v
C
F F
L
Stokes von ) Satz
(
Herrscht im Inneren der Fläche eine andere
Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation
überkompensiert durch die
umso stärkere Schervorticity
in der Nähe des Randes.
Vorticity und Zirkulation - horizontal -
F k F d F
F
h F
L
h
h v d l rot v d F k d F dF
C
) (
F C
F dF F dC
dF dC
dF dC
F h
h h
h
: folgt daraus
1 1
Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus
endlich voneinander entfernten Messungen.
Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene
d
r
l d
dt d
rd dl
v
r F
r d
r
dt rd r d dt rd
rd dl v
l d v dl
v l
d v C
F L
F L F
L F
L
F L F
L h
2 2
2
da
e Kreisfläch
2 2
) (
2
) ( )
( )
(
) bewegung Kreis - ( )
(
2 2
F
dF d dF
dC h
Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der
zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.
Natürliches Koordinatensystem
Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystem ein System zu verwenden, dass an die Strömung selbst gebunden ist.
Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens
auffassen.
Ein geeignetes Koordinatensystem mit dann nur noch zwei Achsen wird dann festgelegt durch Einheitsvektoren in Richtung des
a) Windrichtungsvektors
b) Vektors parallel zur Richtung des hypothetischen Kreismittelpunktes
n 0
n 0
s 0
s 0
em Rechtssyst ein
bilden
, ,
,
0 0
0 0
0
k n s
k n
v s v v
s v
Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)
V V + n
s ' s
n
= n Δ
Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity:
Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den
schraffierten Bereich:
s s n
n V V
s n n
V V s
s V C
) (
adius Krümmungsr
mit
lim , 0
R s
R V n
V s
n C
s
s s
n
+
+
y
x x
y
a b
Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
R s
V n
V
Scherungsvorticity Krümmungsvorticity
- 6 - 4 - 2 0 2 4 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 p *
h P a
d i v v
Hi n 1 0 h P a / s
- 4d i v v i n 1 0 s
H - 6 - 1Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung
Bezeichnungen:
p*=p
0-p
ω*=-ω=-dp/dt~w
Positive Divergenz vom Boden bis ca. 160 hPa vom Boden ist mit
zunehmendem Absinken verbunden.
Bis 350 hPa herrscht Konvergenz;
das Absinken muss schwächer werden.
Darüber herrscht wieder Divergenz und das Absteigen verstärkt sich wieder.
0
*
div
*
p p
p v
p v y
v x
u
H
typischer Verlauf in der Passatregion
- 1 0 - 5 0 5 2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0 h P a
d i v v H
1 0 s - 6 - 1 h P a / h
i n d i v v u n d i n
Hp
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung (wie vorher) und der Vorticity über die
Vorticitygleichung
0
div
p y
v x
u
v
H
h v h
dt f
d
Die Vorticitygleichung verbindet zunehmende Vorticity mit
Konvergenz und abnehmende Vorticity mit Divergenz
(Piruetteneffekt)
Typischer Verlauf in ITCZ
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 0
2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 z i n m
d i v v i n 1 0 s - 6 - 1
w a c h s e n d v o l l e n t w i c k e l t
u n g e s t ö r t z e r f a l l e n d
H
Gemessene Konvergenzen des horizontalen Windes in den
unteren 800 m während
unterschiedlicher Stadien von
tropischen Störungen in der
ITCZ. Diese sind bis auf das
Zerfallstadium immer mit
bodennahen Konvergenzen
verbunden.
Übungen zu IV.1.2
1. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 50 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende
Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den
erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
2. Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und
Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.
IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien
• Stromlinien sind Momentaufnahmen
eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem
Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg
eines Teilchens über eine Zeitspanne
Beispiel für Stromlinien über Westafrika
Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt die Richtung des
Geschwindigkeits- vektors angibt:
) (
) , , (
) , , (
0 0
0 0
x u x
y v y
u dx dy v
t y x u
t y x v x y
Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt:
u v
Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der Stromlinien proportional zu dem Betrag der Geschwindigkeit (Beispiel: die Isobaren sind die Stromlinien des geostrophischen Windes).
Frage: Ist der geostrophische Wind
divergenzfrei? x
p v f
y p
u
gf
g
1 : , 1
:
Trajektorienberechnungen für verschiedene Zeiten für das
Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986.
Trajektorien berechnet man durch Integration der folgenden
Gleichungen über die Zeit
y(t) für analog
) )(
, , (
) , , ( )
( )
(
) , , (
) , , (
, ) , , (
0 0
0
