Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
2
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung
– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern
– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung – ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre
– Divergenz (Volumeninhalt wächst oder schrumpft)
– Rotation (Volumeninhalt konstant, ändern der Ausrichtung)
– Deformation (Volumeninhalt konstant, Ausrichtung konstant)
IV.1 Kinematik (1)
Volumen sei konstant
?
4
IV.1 Kinematik (2)
1. Divergenz
• Definitionen
• Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung
2. Rotation und Zirkulation
• Definitionen
• Natürliches Koordinatensystem
• Zusammenhang mit Divergenz über Vorticity
3. Stromlinien und Trajektorien
• Definitionen
• Beispiele
5
IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit
y v x
v u v
div
z w y
v x
v u v
div
H
H
< 0 > 0 < 0 x
t=0 t=t1
Bei Beschränkung auf die
horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Strömungsfeld und Divergenz
unmittelbar deutlich.
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.
6
Beispiele zur Divergenz
1 1 1
1 1
1 1
1 0 1
1 1
1 1
s
z ms y
ms x
v ms ms
ms ms
v ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
3
s
z z y
y x
v x ms
z ms y
ms x
v
L x L
u x
L u x
L v u x
v
2 2
2 0
0 2
0 0 0
cos sin sin
0 0
2
0
0
v
L v x
u
v
sin
L/2 L
L/4 L/2
7
Divergenz und Massenerhaltung (1)
Dichte und
Masse mit
) (
fest,
Volumen dem
aus nfluss
Nettomasse
m
V t t
V t
M m
kg/s [M]
V M
V, m, ρ=m/V Mi
kg/m³
m² m/s kg/s
heraus V
aus Fluss
wenn
i Randfläche beliebige
eine durch
s Massenflus
0 ρ
F v
Mi F i
i
Ein Nettomassenfluss M durch die festen
Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit Dichteänderung innerhalb des Volumens.
8
Divergenz und Massenerhaltung (2)
x
y z
Δy Δz
Δx
r0
Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu den Koordinatenachsen
w v
w v
v v
v v
u v
u v
F F F F F F
z z
y y
x x
F F
F F
F F
z z y y x x
, ,
,
, , , , ,
V
x z u
y x z y x x
u
z x y
z y x x
z u y x x u
z y x x
z u y x u
z y z
x y x
u z
x y x
u M
M M
M M
M M
M M
M
x x
x
M z z
M y y
M x x
y z x
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
2 2
2 2
, ,
, , ,
, ,
, ,
,
Punkt zentralen
um
g Entwicklun -
Taylor
, , ,
,
nfluss Nettomasse
Die erste Approximation geht davon aus, dass z.B. ρu sich über die Flächen M wenig ändert.
9
Divergenz und Massenerhaltung (3)
x
y z
Δy Δz
Δx
r0
analog für die zwei anderen Richtungen, also insgesamt:
,
, V
z M w
y V M v
x V
Mx u y z
v V
V w
v u
z y x
z V w y
v x
u
M M
M t V
M x y z
v
t
Kontinuitätsgleichung(Massenerhaltung)
1
Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung
vt t v dt
d
Advektionsgleichung für ρ:
Eulersche Kont‘gleichung:
Umrechnung:
v v
v
v dt v
d
v dt v
d t
el Produktreg
Lagrangesche Kont‘gleichung v dt
d
1
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder
zusammenpressen noch auseinander ziehen (z.B. Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren
inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. Wasser-Öl-Mischung )
• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.
keine Ausdehnung beim Aufsteigen
keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik)
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen
Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich:
beachte aber:
0 0
v
dt
d
!!
! 0
t
dicht
dünn
1
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (1)
• Nehmen wir Inkompressibilität an, so folgt aus dem Zusam- menströmen von Luft in der Horizontalen (horizontale Konver- genz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.
• Erfolgt bei Inkompressibilität die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben
ausweichen.
Bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber.
Bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.
y
v x
u z
w z
w y
v x
v 0 u 0
• Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.
h v h
w
h y dz
v x
u dz h
y v x
dw u h
w
h H H
h h
h
) (
) (
Divergenz e
horizontalhöhen-gemittelte 0
0 0
1
→Am Boden ist die Vertikalgeschwindigkeit 0, dann nimmt sie mit der Höhe zu.
0 h
1
Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs
H T
• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet.
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken
• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet
Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (2)
1
Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t)
) )
)
0 ) ( mit
) (
z b c
H H
a H H
z z
H
z z
z
w g dz v
v t g
p
z dz g w
dz v g
dz v g
t dz t g
p
p dz
g z
p gdz
dp
→Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:
a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber b) horizontale Konvergenz in der Luft darüber
c) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z
z, a)
b)
c) t
p
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (3)
1
Konvergenz und Konfluenz
• Von Null verschiedene Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.
• Bei zweidimensionaler Konvergenz gilt der Zusammenhang mit Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was in der vertikalen Dimension passiert.
• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz) bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-
richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit).
• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein!
2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber
verschwindender Divergenz (angedeutet durch
gleichbleibendes Volumen)
1
Einschub:
Kontinuitätsgleichung im p-Koordinatensystem
Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung
annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen hat das p-System den rechen- technischen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung einfacher aussieht.
Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr) durch die Luftbewegung:
g
y p x z
y x
V
Für die Massenänderung gilt unmittelbar:
g
p y x dt
V d dt
d dt
dm 0
Dann gilt der formale Zusammenhang von letzter Seite ohne Annahme der
Inkompressibilität!
0 0
p p v p
y v x
u
dt dp Δp
Δ Δy
Δv Δx
Δu
: ildung Grenzwertb
bei h schließlic und
mit
g , V) /(
,
g y x dt
p d g
p x dt
y d g
p y dt
x 0 d
dt dp p
dt dy y
dt dx x
dt p d p dt
y d y dt
x d x
1 1
1 1
1 0 1
1
Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss (1)
• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder den Gitterpunkten des Modells.
• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.
• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die räumlich gemittelte Divergenz eines Windfeldes.
• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen Formulierung
F
n F
H
dxdy
H H
F H H
ds F v
ds n F v
dxdy F v
v D
1 1
1
Gaussvon Satz
:
x y
F
ds
. vH
H
n n v
v n
1
x y
F a
b c
d Δx
Δy
Komponente -
u
gemittelte a
über 1
mit
1 1
1 1
a a a
b d
a c
d c
b a
d d c
c b
b a
a
dy y u
u
v y v
u x u
x v y u x v y y u
x
dx v dy
u dx
v dy
F u D
Die seien Stationspositionen an denen der Wind gemessen wird.
Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen verbindet.
Anmerkung:
Grenzwertbildung bei D hinter dem letzten Gleichheitszeichen führt mit
∆x,∆y→0 wieder zur Definition der Divergenz, womit auch der Satz von Gauss bewiesen ist.
Flächenmittel der horizontalen Divergenz
und der Integralsatz von Gauss (2)
1
Übung zu IV.1.1
x y
F a
b c
d Δx=100 km
Δy=50 km 4 m/s, 60°
10 m/s 90°
4 m/s, 120°
8 m/s 90°
1. Bestimme die mittlere horizontale Divergenz D für nebenstehende Beobachtungen.
2. Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s.
Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?
4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).
2
IV.1.2 Rotation und Zirkulation
• rot-Operator
• absolute und relative Geschwindigkeit
• Zirkulation als integrales Maß der Rotation
• Vorticity
• natürliches Koordinatensystem
• Zusammenhänge zwischen Vertikalgeschwindigkeit, Divergenz und Vorticity
2
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
zeta eta
xi
y u x
v x
w z
u
z v y
w
w v
u
k j
i w
v u v
rot
v x y z
z y x
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und hängen u und v nur von x und y ab (keine Änderung mit der Höhe), dann gilt offensichtlich:
y
u x
k v k
v
x y
.
Offensichtlich ist die Rotation aus der
Zeichenebene zum Be- obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein achsialer Vektor.
Da die Luftströmung i.w. horizontal
ist hat ς eine besondere Bedeutung k v
y u x
v
2
Beispiele
0 0
0
y u v
y u x
v x
w z
u
z v y
w v
0
0 0 -u v
0
x
y v
2 0 0 - v
0
sin 2
0
0
L
v x
u
v
L x L
v v
2
2 cos0 0
0
L/4 L/2
2
Absolute und Relative Geschwindigkeit
• Durch die Erdrotation haben auch auf der Erde ruhende Gegenstände in einem System, das z.B. in der Sonne verankert ist (gedachtes
Inertialsystem), bereits eine von Null verschiedene Geschwindigkeit.
• Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute
Geschwindigkeit va).
• Diese Unterscheidung ist wichtig, da z.B. nur für letzteres das 2.
Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
• Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine Geschwindigkeit, die wir als Mitführungsgeschwindigkeit bezeichnen.
v v
v v
v v
a a a
gkeit Geschwindi
relative
gkeit Geschwindi
absolute
Die Operatoren sind über räumliche
Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Effekt des Operators
ändern, wenn man von einem Bezugssystem zum anderen geht.
2
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde
• Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur um sich selbst).
• Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem (Inertialsystem) eine Kreisbahn.
• Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert.
• Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn vR ist die Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist von der Breite φ abhängig.
rad/s 10
2722 ,
7
24 60
60 2
5
dt
d
vR
ds=Rdλ dλ
R
i
r
i r
i r
i R dt i
R d dt i
vR ds
Produktes -
(Kreuz) Vektor Definitiondes
2 )
sin(
cos
R
φ λ
vR R=r cosφ
r
Rotationsvektor der Erddrehung:
2
Rotation der Absolutgeschwindigkeit
Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt also : va v r
Für deren Rotation gilt:
) ( )
( ) ( )
( aus
r r
r
r r
a v r v
v 2
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation
rameter Coriolispa
sin
Vorticity relative
Vorticity absolute
mit
f 2
f a
a
Breite he
geografisc
und
mit
sin
2 k 2
v k
v
k a
a
2
Vorticity und Coriolisparameter
rameter Coriolispa
sin
Vorticity relative
Vorticity absolute
mit
2 f
f a
a
Pol
Äquator
z k
• f ist der Teil der Rotation um die lokale Vertikale, der durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).
• Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie der der Erde, nennt man das zyklonal.
Zyklonal heißt also:
• NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv
• SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ.
• Die absolute Vorticity ist eine
Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und bestimmt die Wirbelstruktur der großräumigen atmosphärischen Bewegung.
