Einführung in die Meteorologie (met210)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1.  Kinematik

–  Divergenz und Rotation –  Massenerhaltung

–  Stromlinien und Trajektorien

2.  Die Bewegungsgleichung

–  Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte –  Navier-Stokes-Gleichung

–  Skalenanalyse

3.  Zweidimensionale Windsysteme

–  natürliches Koordinatensystem –  Gradientwind und andere

–  Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

VI.2 Die Bewegungsgleichung

•  Die Newtonschen Axiome

•  Die wirksamen Kräfte

-  Druckgradient -   Schwerkraft -  Reibungskraft

-  Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

•  Die Navier-Stokes-Gleichung

•  Skalenanalyse

-  geostrophische Approximation -   hydrostatische Approximation

•  Geostrophischer Wind im p-

Koordinatensystem

4

IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem

1. Axiom

K ! = 0 ⇒ v !

= const

2. Axiom m d v !

dt = ! K 3. Axiom

K !

= − ! K

Korrolar ("4. Axiom") K ! = !

K

∑

Im kräftefreien Raum (K=0) bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf angreifende Kräfte K reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).

Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem

Vorzeichen (actio = reactio).

Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft.

Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der

Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.

Wirksame Kräfte

In einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar

In der Atmosphäre sind vor allem drei Kräfte/Beschleunigungen wirksam:

f ! = !

f

i=1 3

∑ ^{mit f !}

Druckgradientbeschleunigung !

f

Schwerebeschleunigung !

f

Reibungsbeschleunigung m d v !

dt = !

K , d v !

dt =

K !

m ≡ !

f mit !

f massenspezifische Kraft

oder Beschleunigung

6

Druckgradientbeschleunigung

B A

x₀, y₀, z₀

Δx Δz

Δy

x z

y

An allen Wänden des Volumens V = Δx Δy Δz wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte:

p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche) Taylor-Approximation (nur linearer Term) für den Druck in x-Richtung:

Fläche A: p(x₀+ Δx/2) ≈ p(x₀)+ (∂p/∂x)(Δx/2) Fläche B: p(x₀ - Δx/2) ≈ p(x₀) - (∂p/∂x)(Δx/2)

Ø  Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x₀+ Δx/2) - p(x₀ – Δx/2) ≈ - (∂p/∂x)Δx Ø  Nettokraft in x-Richtung (Druck x Fläche)

K_x=-(∂p/∂x)Δx (ΔyΔz)= -(∂p/∂x)V

Ø  massenspezifische Kraft (Beschleunigung) f_x = K_x/m = - (∂p/∂x)V/m = - (1/ρ)(∂p/∂x)

f

= − 1 ρ

∂ p

∂ x , f

= − 1 ρ

∂ p

∂ y , f

= − 1 ρ

∂ p

∂ z oder !

f

= − 1 ρ

∇ ! p

Schwerebeschleunigung

f !

= g !

=

0 g

− g

⎛ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎞ ⎟

⎟ ⎟

⎟

g !

g !

g !

Wir kennen bereits: g g g g ! ! ! !

muss senkrecht auf der Erdoberfläche sein = Zentrifugalbeschleunigung Newtonsche Anziehung (Gravitation) g !

+ g !

mit

Im Inertialsystem dürfen wir die Zentri- fugalbeschleunigung durch die Erd-

rotation nicht einbeziehen. Sie gilt nur im rotierenden System, welches kein

Inertialsystem ist.

Durch die Erdabplattung ist die Newtonsche Anziehung nur an den Polen und am Äquator senkrecht zur Erdoberfläche – sonst hat sie auch eine y-(Nord-Süd)Komponente.

Also gilt

8

Reibungskraft (1)

x, y, oder z

Austausch von Molekülen zwischen

den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch thermische Bewegung

=

molekulare Reibung

Austausch von Luftpaketen zwischen

den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch

Turbulenz

=

turbulente Reibung

«

fern von festen Ränder (Boden) Prinzip der Reibung:

Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu interpretieren, allerdings nun bzgl. Impuls parallel zu den Grenzflächen anstatt senkrecht dazu beim Druck.

Wir betrachten die Reibung im Luftstrom; diese erfolgt durch Austausch von Impuls senkrecht zum Strom. Dies kann mikroskopisch (auf

Molekülebene) oder makroskopisch (Turbulenzpakete) erfolgen

Reibungskraft (2)

Ansatz über Schubspannung τ (= Impulsaustausch senkrecht zur Bewegungsrichtung)

τ ist intuitiv proportional zur Windscherung in z-

Richtung ∂u/∂z – und zur einer „Zähigkeit“ β, die man auch als Impulstransporteffizienz verstehen kann.

[ ]

,

mit ms

kg z

u

=

∂

= ∂

β β β τ

[ ]

) / ( z

z 2

xz

+ Δ

τ

) / ( z

z 2

xz

− Δ

τ

Δx Δy

Δz x₀, y₀, z₀

•  τ_xz ist der Schub in Richtung x (x-Impuls) durch Transport von x-Impuls in Richtung ±z.

•  τ_xz wirkt oben und unten am

Volumen.

•  Die Differenz (Netto-x-Impuls- Transport zwischen oben und unten) bewirkt einen Nettoschub (Kraft) für das Volumen.

10

Reibungskraft (3)

τ_xz(z₀+Δz/2) = 0 τ_xz(z₀-Δz/2) > 0

Δτ_xz= τ_xz(z₀+Δz/2)- τ_xz(z₀-Δz/2)<0 Ø  Abbremsung

τ_xz(z₀+Δz/2) > 0 τ_xz(z₀-Δz/2) < 0

Δτ_xz= τ_xz(z₀+Δz/2)- τ_xz(z₀-Δz/2)»0 Ø  Beschleunigung

τ_xz(z₀+Δz/2) >0 τ_xz(z₀-Δz/2) > 0

Δτ_xz= τ_xz(z₀+Δz/2)- τ_xz(z₀-Δz/2)~0 Ø  weder Abbremsung noch

Beschleunigung

Entscheidend für Abbremsung oder Beschleunigung ist also nicht der Impulstransport selbst, sondern – wie beim Druck - dessen räumliche

Änderung, der Gradient:

Konvergenz von Impuls beschleunigt, Divergenz bremst.

z u

∂

= β ∂

z τ

x

Reibungskraft (4)

Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x- Richtung:

R,x =τ_xz^(z₀ +Δz /2)ΔxΔy−τ_xz^(z₀ − Δz /2)ΔxΔy

≅ ∂τ_xz

∂z ΔxΔyΔz

=V

!"# $# über τ_xz^(z₀ ±Δz/2)≅τ_xz^(z₀⁾±∂τ_xz

∂zΔz/2 f_R,x = K_R,x

m = ∂τ_xz

∂z V

m = 1 ρ

∂τ_xz

∂z Reibungsbeschleunigung nach x

Einsetzen von τ

=β∂u/∂z:

molekulare Diffusion (β ≡ µ = const) turbulente Diffusion (β ≡ ρ^K(z))

f_R,x = 1 ρ

∂

∂z µ ^∂u

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1 ρ

∂

∂z ρν ^∂u

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1 ρ

∂

∂z ρ^K(z)∂u

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≅ν ^∂2u

∂z² ≈ ∂

∂z K(z)∂u

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

mit µ^, ν = ^µ_ρ dynamische, bzw. molekulare Viskosität ( ≈1,5 · 10⁻⁵m² /s) f_R,x = 1

ρ

∂τ_xz

∂z ≡ 1 ρ

∂

∂z β ^∂u

∂z

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

12

Reibungskraft (5)

τ

0

τ

τ

τ

τ

τ

τ

!

"

# #

# #

$

%

&

&

&

&

und !

f_R = 1

ρ

∇ ⋅

τ

= 1

ρ

∂

∂

τ

∂

∂

τ

∂

∂

τ

∂

∂

τ

∂

∂

τ

∂

∂

τ

!

"

# #

# #

# #

# #

$

%

&

&

&

&

&

&

&

&

Weiter: Neben τ_xz existieren noch τ_xy und τ_xx für den Austausch von x-Impuls, und analog für y- und z-Impuls τ_yx, τ_yy und τ_yz, bzw. τ_zx, τ_zy und τ_zz.

Die τ_ii (Austausch von i-Impuls in i-Richtung) sind schon durch die Druckgradient- kraft (Impulstransport senkrecht zu den Würfeloberflächen) erledigt!

Zusammengefasst: Schubspannungstensor

Anmerkung: Man hätte den Druck hier gleich mitbehan- deln können; dann hätten die Diagonalelemente von τ alle den Wert –p, und unten wäre die Druckgradientbeschleu- nigung schon mit drin.

Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

ρ τ

ρ ^{∇ − + ∇ ⋅}

−

= ! ! !

! 1 1

a p g N

dt v d

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!

Ein hierzu brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne

verankertes Koordinatensystem, das seine Achsen starr am

Fixsternhimmels ausrichtet.

14

Übungen zu VI.2.1

1.  Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung in Bodennähe, wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt und die Atmosphäre hydrostatisch geschichtet ist.

2.  Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung durch die Erddrehung am Äquator, und wie groß ist dort die Gravitationsbeschleunigung?

3.  Berechne numerisch das Divergenz- und Rotationsfeld des folgenden Windfelds und vergleiche die Ergebnisse mit den analytischen Lösungen.

Experimentiere mit unterschiedlichen Gitterauflösungen. Diskutiere das Ergebnis.

v ! =

10 m/s 10 sin 2 π ^x

1000000 m/s 0 m/s

!

"

# #

# #

# #

$

%

&

&

&

&

&

&

Übungen (Tutorium) zu VI.2.1

1.  Wie müsste sich das Windprofil über eine Distanz von 1 Meter ändern, damit die molekulare Reibung und die turbulente Reibung in die

Größenordnung der Schwerebeschleunigung kommt?