Einführung in die Meteorologie (met210)

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Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

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2

VI Dynamik der Atmosphäre

1.

Kinematik

– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung

– Stromlinien und Trajektorien

2.

Die Bewegungsgleichung

– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse

3.

Zweidimensionale Windsysteme

– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere

– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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VI.2 Die Bewegungsgleichung

•

Die Newtonschen Axiome

•

Die wirksamen Kräfte im Intertialsystem

–

Druckgradient

–

Schwerkraft

–

Reibungskraft

•

Die Navier-Stokes-Gleichung

–

Übergang auf ein rotierendes Koordinatensystem

–

Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

•

Skalenanalyse

–

geostrophische Approximation

–

hydrostatische Approximation

–

geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

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4

•

Das erdfeste (irgendwo auf der Erde verankerte) System ist kein

Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die

Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss, also eine Beschleunigung erfährt.

•

Massen auf der Erde (z.B. ein Luftvolumen) reagieren auf diese

Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung (gradlinig und gleichförmig, konstanter

Geschwindigkeitsvektor, 1. Newton‘sches Axiom) im Inertialsystem beizubehalten.

•

Im erdfesten System erscheinen die hieraus folgenden

Trägheitsbewegungen jedoch als Beschleunigungen, die dann als

Reaktion auf Kräfte – die wir Scheinkräfte nennen - interpretiert werden.

VI.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

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Coriolisbeschleunigung auf der Kugel - halb quantitativ (1) -

Berechnung von Δs:

Δs= Δu_Ω Δt=(u_Ω(A) - u_Ω(B))Δt

=(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt

mit R Erdradius, λ Länge und φ Breite Berechnung der Beschleunigung b_C,u≈ 2Δs/(Δt)² (Annahme: konstante Be- schleunigung b_c nach Ost: v = ds/dt = b_C,ut

→ s=1/2b_C,ut²)

Mit Δφ/Δt = v/R → Δt = Δφ R/v folgt:

b_C,u= 2R(cos(φ) - cos(φ +Δφ)) Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ω v (cos(φ+Δφ) - cos(φ)) / (Δφ)

= - 2Ω v (Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ω v d(cosφ)/dφ

= 2Ω vsinφ

• Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach

Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.

• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativgeschwin- digkeit in Ostrichtung Δu_Ω mit, und hat nach Δt zusätzlich die Strecke Δs nach Osten (Punkt C) zurückgelegt.

Der Körper beschleunigt nach rechts in Abhängigkeit von seiner

Geschwindigkeit v und der Breite φ.

Δ Δ

A t

1

+

3

v

s

C B

b

_C,u

= 2Wvsin f

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6

Coriolisbeschleunigung auf der Kugel - halb quantitativ (2) -

•

Ein Körper bewege sich auf der Erde mit der Relativgeschwin- digkeit u nach Ost, er hat dann die Absolutgeschwindigkeit

u_a= u + Ωr = u + ΩRcosφ .

•

Da er einer Kreisbewegung folgt hat er eine Zentrifugalbeschleu- nigung von (u

_a)²/r für die gilt:

• Der 1. Term ist das g_z, die Zentrifugalbe- schleunigung durch die Erddrehung.

• Die beiden letzten Terme beschreiben die zusätzliche Zentrifugalbeschleunigung durch die (relative) u-Bewegung.

• Der dabei meist dominierende 2. Term (er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z (=2uΩcosφ) und eine y-Komponen- te (=2uΩsinφ) aufteilen (siehe Abbildung).

• Der 3. Term ist ein sog. metrischer Term, (Zentrifugalbeschl. durch Krümmung der x- Koordinate), der verschwindet, wenn man eine ortsfeste Tangentialebene als

Koordinatensystem annimmt.

• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung:

Wir hatten bereits:

2 u c o s

P

2 u s i n

2 u R

r

Ä q u .

u_a²

r =

(

u+ Wr

)

²

r = W²r+

2Wu+

u² r

b

_C,v

= -2Wusin f b

_C_,u

= 2 Wvsin f

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Coriolisbeschleunigung auf der Kugel

- halb quantitativ (3) - Zusammenfassung

A t

1

+

2

3

v

s

C B

2 u c o s

P

2 u s i n

2 u R

r

Ä q u .

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8

Coriolisbeschleunigung - formal (1) -

• Wir betrachten die Darstellung eines Vektors im Inertialsystem - und im rotierenden Erdsystem

• Wir bilden die zeitlichen Ableitung im Inertialsystem unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems.

• Wir wenden die gefundenen Ableitungsbeziehung auf

den Vektor der absoluten Geschwindigkeit an.

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Coriolisbeschleunigung - formal (2) -

x

y z

x‘

z‘

y‘

Inertialsystem

Relativsystem =Tangentialebene fest an der Kugeloberfläche

i 

 j k 

W 

i j



k  

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10

Coriolisbeschleunigung

- formal (3) -

(11)

Coriolisbeschleunigung - formal (4) -

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche

II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s

kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) IV. Coriolisbeschleunigung

V. Zentrifugalbeschleunigung

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12

Coriolisbeschleunigung - formal (5)

Coriolisbeschleunigung

Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt weiter:

u²/r taucht als metrischer Term nicht mehr auf, da eine Tangentialebene betrachtet wird.

y

z

Ä q u .

da Ω

_x

= 0

Ω

_y

= Ω cos f

Ω

_z

= Ω sin f

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Navier-Stokes-Gleichung (1)

+

Dabei wurde

• d‘/dt durch d/dt gesetzt,

• die totale Ableitung nach Euler zerlegt,

• der Rotationsvektor der Erde als konstant angenommen, und

• die Zentrifugalbeschleunigung in die

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14

Navier-Stokes-Gleichung (2)

komponentenweise

gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung

,

1 2 cos

1 1 2 cos

 f



 f

    

= + + + = - + - W +

    

= + + + = - - +

    

= + + + = - - + W

    

R x

R y

du u u u u p

u v w fv w f

dt t x y z x

dv v v v v p

u v w fu f

dt t x y z y

dw w w w w p

u v w g u

dt t x y z z + f

_{R z}^,

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Übungen zu VI.2.2

1. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator?

2. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die

Zentrifugalbeschleunigung (halb quantitative Ableitung der Coriolisbeschleunigung) ab und vergleiche diese mit 1..

3. Erläutere die formale Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen Text.

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Übungen (Tutorium) zu VI.2.2

1. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des

Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.