Einführung in die Meteorologie (met210)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

VI Dynamik der Atmosphäre

1.  Kinematik

–  Divergenz und Rotation –  Massenerhaltung

–  Stromlinien und Trajektorien

2.  Die Bewegungsgleichung

–  Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte –  Navier-Stokes-Gleichung

–  Skalenanalyse

3.  Zweidimensionale Windsysteme

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

VI.3 Zweidimensionale Windsysteme

1.  Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung 2.  Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal) als

Erweiterung des geostrophischen Windes 3.  Weitere 2-dimensionale Windsysteme

–  Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)

•  Staubwirbel

•  Tornados

–  Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)

•  Wirbel im Ozean

•  Grenzschichtstrahlstrom

–  Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)

•  Land-Seewindsysteme

•  Berg-Talwindsysteme

VI.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem

Das natürliche Koordinatensystem (Einführung bei Analyse der Vorticity) führt zu einer einfacherzu interpretierenden Form der horizontalen

Bewegungsgleichung, welche die Zentrifugalbeschleunigung durch gekrümmte Stromlinien explizit als solche enthält.

Ausgangspunkt ist die approximierte horizontale Bewegungsgleichung (Vernachlässigung des 2Ωwcosφ-Terms in der x-Komponente oder

Annahme w=0.):

d v !

dt = − 1 ρ

∇ !

p − f !

k × v !

+ ! f

v ! h

s !

n ! ⇒ d v !

dt = d

dt ( ) v

s !

!

5

zur Erinnerung: Navier-Stokes-Gleichung

d v ^! dt ⁼

∂ ! v

∂ t ^{+ (} v ! ⋅ !

∇ ) !

v = − 1 ρ

∇ ! p − g k ^! − 2 ! Ω × !

v + ! f

oder komponentenweise

( )

,

,

1 2 sin cos

1 2 sin

1 2 cos

R x

R y

R z

du u u u u p

u v w v w f

dt t x y z x

dv v v v v p

u v w u f

dt t x y z y

dw w w w w p

u v w u - g f

dt t x y z z

φ φ

ρ ρ φ ρ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + = − + Ω − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + = − − Ω +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + = − + Ω +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

du

dt = ∂ u

∂ t + u ∂ u

∂ x + v ∂ u

∂ y + w ∂ u

∂ z = − 1 ρ

∂ p

∂ x + 2 Ω v sin φ

! " # $

# + f

dv

dt = ∂ v

∂ t + u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y + w ∂ v

∂ z = − 1 ρ

∂ p

∂ y − 2 Ω u sin φ

! " # $

# + f

nur Horizontalkomponenten und Vernachlässigung von wcosφ

d v !

dt = − 1 ρ

∇ !

p − f !

k × v !

+ !

f

d v !

= ∂ v

s ! + ∂ v

2 s ! + v d s !

Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1)

v ! h

s ! n !

=

v_h=v_s v_n=v_k=0

! ∂ v

∂ t + v

∂ v

∂ s

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ s ! + v

d s ! dt

natürliches Koordinaten- system

d v !

dt = ∂ v

∂ t + v ! ⋅ !

( ∇ ) ^v

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ s ! + v

d s ! dt

= ∂ v

∂ t +

v

v

v

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⋅

∂ ∂ s

∂ ∂ n

∂ ∂ k

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟ v

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

! s + v

d s ! dt

Umschreiben der Beschleu-

nigung

7

Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2)

d s !

dt = lim

Δt→0

Δ s ! Δ t :

Δφ

) ( t

s !

)

( t t

s !

+ Δ

Δ ! s = !

s ( t

+ Δ t ) − ! s ( t

) a) Δ !

! s

s ^{≅ Δ} φ → Δ !

s = Δ φ s ^! = Δ φ ^{, da} s ^! = 1 b) Δ !

s ⊥ !

s → Δ ! s || !

n c) Δ φ ≅ Δ l

R , R Krümmungsradius

s !

s !

n ! n !

R>0 R<0

⇒ d s ^!

dt ^{≅ Δ} s !

Δ t

⁼ !

Δ φ Δ t

n !

=

!

1 R

Δ l Δ t

v_h

!

n ! = v

R

n !

dt s v d

s s v t s

v dt

v d

h h

h h

! !

! !

∂ + + ∂

∂

= ∂ 2

2

⇒ d v !

dt = ∂ v

∂ t

s ! + ∂ v

2

∂ s s !

Beschleunigung entlang der Bahn

! ## " ## $ + v

R

n !

Beschleunigung quer zur Bahn (Zentrifugalbeschl.)

!

s ! Δ

Achtung: Der Krümmungsradius R ist so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist! Dann muss eine Beschleunigung in Richtung n existieren; bei antizyklonaler Krümmung entgegensetzt zu n.

Umschreiben der Beschleu-

nigung

Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3)

R n s v

s v t s

v dt

v

d !

!

!

! 2 +

∂ + ∂

∂

= ∂

Weitere Annahmen:

a) Stationarität →∂v

/∂t=0

b) keine Änderung des Betrags der

Windgeschwindigkeit entlang der Bahn

→ ∂(v

/2)/∂s=0

R n v dt

v

d ! _{h h 2} !

=

⇒ ⇒ v _h ² R

n ! = − 1 ρ

∇ ! _h p − f !

k × v ! _h + ! f _R,h

R,s

p v

s f

s : p

∂

∂ +

− ∂

= ρ

1 0 1

! 2

"

Reibung und Druckgradient kompensieren sich parallel zur Strömung.

Zentrifugal-, Druckgradient

Weitere Annahmen, Hinzumahme

der Kräfte

9

Fallunterscheidung und Bezeichnungen

Je nach wirkenden Kräften und Skalen ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.

Druck- gradient

Coriolis- Beschl.

Reibung Zentrifu- gal- beschleu-

nigung

Phänomene

geostrophischer Wind

synoptische Systeme Gradientwind

zyklostrophischer

Wind Staubteufel

Trägheitskreis

Grenzschichtstrahlstrom antitriptischer

Wind kleinräumige Windsysteme

(z.B. Land-Seewind, Äquator)

h h

R,s

n fv p R

n v

s f s p

∂ −

− ∂

=

∂ +

− ∂

=

:

:

ρ ρ

1 0 1

!

"

Übungen zu VI.3.1

1.  Welche Vorteile hat die Einführung des natürlichen

Koordinatensystems, und welche Approximationen wurden bei der Ableitung der Bewegungsgleichung in diesem Zusammenhang gemacht?

2.  Schätze die Größenordnung der Terme der Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem für Tiefdruckgebiete ab

(Skalenanalyse).