Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
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VI Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung
– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
VI.2 Die Bewegungsgleichung
• Die Newtonschen Axiome
• Die wirksamen Kräfte im Intertialsystem – Druckgradient
– Schwerkraft – Reibungskraft
• Die Navier-Stokes-Gleichung
– Übergang auf ein rotierendes Koordinatensystem – Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
• Skalenanalyse
– geostrophische Approximation – hydrostatische Approximation
– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem
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• Das erdfeste (irgendwo auf der Erde verankerte) System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die
Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss, also eine Beschleunigung erfährt.
• Massen auf der Erde (z.B. ein Luftvolumen) reagieren auf diese
Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung (gradlinig und gleichförmig, konstanter
Geschwindigkeitsvektor, 1. Newton‘sches Axiom) im Inertialsystem beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen die hieraus folgenden
Trägheitsbewegungen jedoch als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Kräfte – die wir Scheinkräfte nennen - interpretiert werden.
VI.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem
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Coriolisbeschleunigung auf der Kugel - halb quantitativ (1) -
A t
1
+
2
3
v
s
C B
Berechnung von Δs:
Δs= ΔuΩΔt=(uΩ(A) - uΩ(B))Δt
=(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt
mit R Erdradius, λ Länge und φ Breite Berechnung der Beschleunigung bC,u≈ 2Δs/(Δt)² (Annahme: konstante Be- schleunigung bc nach Ost: v = ds/dt = bC,ut
→ s=1/2bC,ut²)
Mit Δφ/Δt = v/R → Δt = Δφ R/v folgt:
bC,u= 2R(cos(φ) - cos(φ +Δφ)) Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ω v (cos(φ+Δφ) - cos(φ)) / (Δφ)
= - 2Ω v (Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ω v d(cosφ)/dφ
= 2Ω vsinφ
• Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach
Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.
• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativgeschwin- digkeit in Ostrichtung ΔuΩ mit, und hat nach Δt zusätzlich die Strecke Δs nach Osten (Punkt C) zurückgelegt.
b
C,u= 2 Ω v sin φ
Der Körper beschleunigt nach rechts in Abhängigkeit von seiner
Geschwindigkeit v und der Breite φ.
Δ Δ
6
Coriolisbeschleunigung auf der Kugel - halb quantitativ (2) -
2 u cos
P
2 u sin
2 u R
r
Äqu.
• Ein Körper bewege sich auf der Erde mit der Relativgeschwin- digkeit u nach Ost, er hat dann die Absolutgeschwindigkeit ua = u + Ωr = u + ΩRcosφ .
• Da er einer Kreisbewegung folgt hat er eine Zentrifugalbeschleu- nigung von (ua)2/r für die gilt:
ua2
r =
(
u+Ωr)
2r =Ω2r +2Ωu+ u2 r
• Der 1. Term ist das gz, die Zentrifugalbe- schleunigung durch die Erddrehung.
• Die beiden letzten Terme beschreiben die zusätzliche Zentrifugalbeschleunigung durch die (relative) u-Bewegung.
• Der dabei meist dominierende 2. Term (er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z (=2uΩcosφ) und eine y-Komponen- te (=2uΩsinφ) aufteilen (siehe Abbildung).
• Der 3. Term ist ein sog. metrischer Term, (Zentrifugalbeschl. durch Krümmung der x- Koordinate), der verschwindet, wenn man eine ortsfeste Tangentialebene als
Koordinatensystem annimmt.
• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung:
b
C,v= − 2 Ω u sin φ b
C,u= 2 Ω v sin φ
Wir hatten bereits:
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Coriolisbeschleunigung auf der Kugel
- halb quantitativ (3) - Zusammenfassung
bx by bz
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ =
2Ωvsinϕ
− Ω2Rsinϕ −2Ωusinϕ − u2 Rsinϕ Ω2Rcosϕ
Zentrifugal- beschleunigungen durch Erddrehung:
y-Komponente verschwindet durch Erdabplattung, z-Komponente in Schwerebesch. integr.
! "# #$ +2Ωucosϕ
Coriolis-
Beschleunigung:
wirkt in alle Richtungen
! "# #$ + u2 Rcosϕ
Zentrifugal- beschleunigung durch Bewegung inx-Richtung auf einem Breiten- kreis
!"# $#
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
A t
1
+
2
3
v
s
C B
2 u cos
P
2 u sin
2 u R
r
Äqu.
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Coriolisbeschleunigung - formal (1) -
• Wir betrachten die Darstellung eines Vektors im Inertialsystem - und im rotierenden Erdsystem
• Wir bilden die zeitlichen Ableitung im Inertialsystem unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden
Koordinatensystems.
• Wir wenden die gefundenen Ableitungsbeziehung auf
den Vektor der absoluten Geschwindigkeit an.
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Coriolisbeschleunigung - formal (2) -
x
y z
i !
! j k !
x‘
z‘
y‘
Ω !
i!′ j ′
!
k ! ′
a! Vektor in den beiden Koordinatensystemen = ax!
i +ay!
j +az! k
= a!x!
i!+a!y!
j!+a!z! k!
Inertialsystem
Relativsystem =Tangentialebene fest an der Kugeloberfläche
= dʹa!
dt +aʹx ! Ω ×!
iʹ+aʹy! Ω × !
jʹ+aʹz! Ω × !
kʹ
= dʹa! dt + !
Ω × ʹax! iʹ+ !
Ω × ʹay! jʹ+ !
Ω × ʹaz! kʹ
= dʹa! dt + !
Ω ×a!
daraus folgt für die zeitliche Änderung da!
dt = dax dt
i!+ day dt
!j + daz dt
k!
= daʹx dt
!ʹ
i + daʹy dt
!jʹ+ daʹz dt
!ʹ k
= dʹa!
dt beobachtete Änderung im beschleunigten System
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
+aʹx d! iʹ
dt +aʹy d! jʹ
dt +aʹz d! kʹ dt
...hatten wir schon! Nun ! a ≡ !
va d !
va
dt = d"! va
dt + ! Ω × !
va
= d"! v
dt + d"
dt
Ω ×! !
(
r)
+Ω ×! v!+Ω ×! Ω ×! r!= d"! v
dt + d"! Ω dt × !
r + !
Ω × d"! r dt
=!
!v + ! Ω × !
v + !
Ω × !
Ω × ! r
= d"! v
dt + d"! Ω dt × !
r +2! Ω × !
v + ! Ω × !
Ω × !
r 10
Coriolisbeschleunigung - formal (3) -
d a !
dt = d ! a !
dt + !
Ω × a !
Nun !
a ≡ ! r d!
r
dt = d"! r
dt + !
Ω × !
r identisch mit !
va = ! v + !
Ω × ! r
11
Coriolisbeschleunigung - formal (4) -
d ! v ! dt
!
I= d v !
adt
!
II− d ! ! Ω
dt × r !
"# $ %
III$ − 2 !
Ω × v !
"#%
IV− !
Ω × !
Ω × r !
" # $ %
V$
I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche
II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s
kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) IV. Coriolisbeschleunigung
V. Zentrifugalbeschleunigung
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Coriolisbeschleunigung - formal (5)
f!C ≡ −2!
Ω × v! = −2
i! !
j !
k Ωx Ωy Ωz
u v w
=
2Ω
(
vsinφ − wcosφ)
−2Ωusinφ 2Ωucosφ
%
&
'' '
(
)
**
* Coriolisbeschleunigung
y
z
Äqu.
da Ωx = 0
Ωy = Ωcosφ Ωz = Ωsinφ
Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt weiter:
f!C =
fv − 2Ωcosφ w − fu
2Ωcosφ u
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟
u²/r taucht als metrischer Term nicht mehr auf, da eine Tangentialebene betrachtet wird.
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Navier-Stokes-Gleichung (1)
′ d v !
dt =
d v !
adt −
′ d Ω !
dt ×
r ! − 2 !
Ω × !
v − Ω × ! Ω × ! r !
0
Ω2Rcosφ(=gN,y) Ω2Rsinφ(=g−gN,z )
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
" # $ % $ d v !
adt = − 1 ρ
∇ ! p + g !
N=
0 gN,y
−gN,z
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
! + 1 ρ
∇⋅ ! τ
+
d v !
dt = ∂ v !
∂ t + ( v ! ⋅ !
∇ ) v ! = − 1 ρ
∇ ! p − g !
k − 2 !
Ω × v ! + 1 ρ
∇ ⋅ ! τ
Dabei wurde
• d‘/dt durch d/dt gesetzt,
• die totale Ableitung nach Euler zerlegt,
• der Rotationsvektor der Erde als konstant angenommen, und
• die Zentrifugalbeschleunigung in die Schwerebeschleunigung integriert.
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Navier-Stokes-Gleichung (2)
d v !
dt = ∂ v !
∂ t + ( v ! ⋅ !
∇ ) v ! = − 1 ρ
∇ ! p − g !
k − 2 !
Ω × v ! + ! f
R1 ρ
∇⋅τ!
!
komponentenweise
,
,
1 2 cos
1
1 2 cos ρ φ
ρ ρ φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + = − + − Ω +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + = − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + = − − + Ω
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
R x
R y
du u u u u p
u v w fv w f
dt t x y z x
dv v v v v p
u v w fu f
dt t x y z y
dw w w w w p
u v w g u
dt t x y z z + f
R z,gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung
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Übungen zu VI.2.2
1. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator?
2. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die
Zentrifugalbeschleunigung (halb quantitative Ableitung der Coriolisbeschleunigung) ab und vergleiche diese mit 1..
3. Erläutere die formale Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen Text.
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Übungen (Tutorium) zu VI.2.2
1. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des
Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.
