• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(1)

Grundlagen der Rechnernetze

Physikalische Schicht

(2)

Übersicht

• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

• Kanalkapazität

• Encoding und Modulation

• Beispiele für Übertragungsmedien

(3)

Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(4)

Signal s(t)

Formal:

Zeit

Analog

Formal:

Zeit

Digital

Formal:

Zeit

Periodisch

(5)

Sinusoid

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

Sinusoid:

Zusammenhang zwischen Frequenz f [Hz]

und Periode T [s]:

Wellenlänge  [m] bei Signalausbreitungs‐

geschwindigkeit v [m/s]:

(6)

Frequenzanteile

sin(2 f t)

(1/3)sin(2 (3 f) t)

(4/

)[sin(2

f t) + (1/3) sin (2 (3f) t)]

(7)

Darstellung in der Frequenzdomäne

(8)

Fourier‐Reihendarstellung periodischer Signale

Bestimmung der Koeffizienten:

Beispiel: Bestimmung der Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals an der Tafel 1.0

0.5 0.0

‐0.5

‐1.0

0.0 0.5T 1.0T 1.5T 2.0T

(9)

Herleitung an der Tafel

(10)

Ergebnis des vorigen Beispiels

1f₀ 3f₀ 5f₀ 7f₀ 9f₀

...

(11)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der nten Harmonischen (ohne Beweis)?

(12)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

(13)

Aperiodische Signale in der Frequenzdomäne

Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum

(14)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(15)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter‐Beispiel

(16)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

Bandbreite für f₀ = 1MHz

(17)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

Verwende Rechtecksignal mit f₀ = 1 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Was ist die Datenrate d?

1 0 1 0

Daten Signal

(18)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

Was ist die Bandbreite?

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(19)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

Was ist die Bandbreite für (2)?

(4/ )[sin(2 f₀ t) + (1/3) sin (2(3f₀) t)]

(4/)[sin(2f₀ t) + (1/3) sin (2(3f₀) t)+(1/5) sin(2(5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(20)

Wo liegen die Grenzen?

Voltage Voltage Voltage

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fourier series with 128 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Fourier series with 4 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Fourier series with 2 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fourier series with 1 harmonic

01100010 01100010 01100010

(21)

Kanalkapazität

(22)

Kanalkapazität

Störfreier Kanal

(23)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B [Hz] erlaubt eine Übertragungsrate S [Signal/s] von (ohne Beweis):

(24)

Nyquist‐Bandbreite

0 1 2 3 4

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

Symbol wert

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

Allgemein (Nyquist‐Bandbreite): Für M Signalzustände und Bandbreite B [Hz] ist die Bitrate C [bps] mit voriger Folie: