Grundlagen der Rechnernetze

(1)

Grundlagen der Rechnernetze

Physikalische Schicht

(2)

Übersicht

• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

• Kanalkapazität

• Encoding und Modulation

• Beispiele für Übertragungsmedien

(3)

Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(4)

Signal s(t)

Formal:

Zeit

Analog

Formal:

Zeit

Digital

Formal:

Periodisch

(5)

Signal s(t)

Formal:

Zeit

Analog

Formal:

Zeit

Digital

Formal:

Periodisch

(6)

Types of signals

Analog

Discrete (time)

Digital

(7)

Sinusoid

Sinusoid:

Zusammenhang zwischen Frequenz f [Hz]

und Periode T [s]:

Wellenlänge λ [m] bei Signalausbreitungs- geschwindigkeit v [m/s]:

(8)

Sinusoid

Sinusoid:

𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 � sin(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑡𝑡 + 𝜙𝜙)

Zusammenhang zwischen Frequenz f [Hz]

und Periode T [s]:

1 𝜋𝜋[𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠

𝑠𝑠 ] = 𝑇𝑇 [𝑠𝑠]

Wellenlänge λ [m] bei Signalausbreitungs- geschwindigkeit v [m/s]:

𝑣𝑣[𝑚𝑚/𝑠𝑠]

𝜋𝜋[𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠

𝑠𝑠 ] = 𝜆𝜆 [𝑚𝑚]

(9)

Frequenzanteile

sin(2

π

f t)

(1/3)sin(2

π

(3 f) t)

(4/

π

)[sin(2

π

f t) + (1/3) sin (2

π

(3f) t)]

(10)

Darstellung in der Frequenzdomäne

(11)

Fourier-Reihendarstellung periodischer Signale

Bestimmung der Koeffizienten:

Beispiel: Bestimmung der Koeffizienten eines periodischen Rechteck-Signals an der Tafel 1.0

0.5 0.0 -0.5

(12)

Herleitung an der Tafel

(13)

Ergebnis des vorigen Beispiels

(14)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der n-ten Harmonischen (ohne Beweis)?

(15)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der n-ten Harmonischen (ohne Beweis)?

𝑐𝑐 _𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 _𝑛𝑛 ² + 𝑏𝑏 _𝑛𝑛 ²

(16)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

(17)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum:

{1𝜋𝜋, 3𝜋𝜋 , 4𝜋𝜋, 5𝜋𝜋 }

Bandbreite:

5𝜋𝜋 − 1𝜋𝜋 = 4𝜋𝜋

(18)

Aperiodische Signale in der Frequenzdomäne

(19)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(20)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

(21)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter-Beispiel

(22)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter-Beispiel

(23)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

Bandbreite für f₀= 1MHz

(24)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

5𝜋𝜋₀ − 1𝜋𝜋₀ = 4𝑀𝑀𝐻𝐻𝐻𝐻

7𝜋𝜋₀ − 1𝜋𝜋₀ = 6𝑀𝑀𝐻𝐻𝐻𝐻

∞

(25)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

Verwende Rechtecksignal mit f₀ = 1 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Was ist die Datenrate d?

1 0 1 0

Daten Signal

(26)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

𝟓𝟓𝒇𝒇

_𝟎𝟎

− 𝟏𝟏𝒇𝒇

_𝟎𝟎

= 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

𝑻𝑻 =

^𝟏𝟏

�

_𝒇𝒇

= 𝟏𝟏𝟎𝟎

^−𝟔𝟔

𝒔𝒔

𝒅𝒅 =

^𝟐𝟐

⁄

_𝑻𝑻

= 𝟐𝟐/𝟏𝟏𝟎𝟎

^−𝟔𝟔

= 𝟐𝟐 𝟒𝟒𝑴𝑴𝑴𝑴𝒔𝒔

1 0 1 0

Daten Signal

(27)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz

Bandbreite

(28)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

Was ist die Bandbreite? 𝟓𝟓𝒇𝒇_𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝒇𝒇_𝟎𝟎 = 𝟖𝟖 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

Was ist die Periode T? 𝑻𝑻 = ^𝟏𝟏�_𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓 � 𝟏𝟏𝟎𝟎^−𝟔𝟔 𝒔𝒔

Was ist die Datenrate d? 𝒅𝒅 = ^𝟐𝟐⁄_𝑻𝑻 = 𝟐𝟐/(𝟎𝟎,𝟓𝟓 � 𝟏𝟏𝟎𝟎^−𝟔𝟔) = 𝟒𝟒 𝟒𝟒𝑴𝑴𝑴𝑴𝒔𝒔

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz

Bandbreite

(29)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

(4/π)[sin(2πf₀t) + (1/3) sin (2π (3f₀) t)]

(4/ π)[sin(2π f₀ t) + (1/3) sin (2π (3f₀) t)+(1/5) sin(2π (5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(30)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

Was ist die Bandbreite? 𝟑𝟑𝒇𝒇_𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝒇𝒇_𝟎𝟎 = 𝟒𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

Was ist die Periode T? 𝑻𝑻 = ^𝟏𝟏�_𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓 � 𝟏𝟏𝟎𝟎^−𝟔𝟔 𝒔𝒔

Was ist die Datenrate d? 𝒅𝒅 = ^𝟐𝟐⁄_𝑻𝑻 = 𝟐𝟐/(𝟎𝟎,𝟓𝟓 � 𝟏𝟏𝟎𝟎^−𝟔𝟔) = 𝟒𝟒 𝟒𝟒𝑴𝑴𝑴𝑴𝒔𝒔

(4/π)[sin(2πf₀t) + (1/3) sin (2π (3f₀) t)]

(4/ π)[sin(2π f₀ t) + (1/3) sin (2π (3f₀) t)+(1/5) sin(2π (5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(31)

Wo liegen die Grenzen?

Voltage Voltage Voltage

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Fourier series with 128 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fourier series with 1 harmonic

01100010 01100010 01100010

(32)

Kanalkapazität

(33)

Kanalkapazität

Störfreier Kanal

(34)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B erlaubt eine Übertragungsrate S von (ohne Beweis):

(35)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B erlaubt eine Übertragungsrate S von (ohne Beweis):

𝑆𝑆 = 2 � 𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠

(ℎ𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 = 2𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠)

(36)

Nyquist-Bandbreite

0 1 2 3 4

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

Symbol wert

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

𝑆𝑆 = 2 � 𝐵𝐵 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚𝑏𝑏𝑆𝑆𝑐𝑐𝑠𝑠

= 4𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠 𝑠𝑠

Allgemein (Nyquist-Bandbreite): Für M Signalzustände ist die Bitrate C mit voriger Folie:

(37)

Nyquist-Bandbreite

0 1 2 3 4

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

Symbol wert

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

𝑆𝑆 = 2 � 𝐵𝐵 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚𝑏𝑏𝑆𝑆𝑐𝑐𝑠𝑠

= 4𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠 𝑠𝑠

Allgemein (Nyquist-Bandbreite): Für M Signalzustände ist die Bitrate C mit voriger Folie:

𝐶𝐶 = 2 � 𝐵𝐵 � log ₂ 𝑀𝑀 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠

(38)

Kanalkapazität

Gestörter Kanal

(39)

Signalstärken und Dämpfung

Spannung U, Strom I, Leistung P und Energie E:

𝑃𝑃 𝑊𝑊 = 𝑈𝑈 𝑉𝑉 � 𝐼𝐼 𝐴𝐴 , 𝑃𝑃 𝑊𝑊 = 𝐽𝐽 �

𝑠𝑠 = 𝐸𝐸 [𝐽𝐽]

𝑠𝑠

Dämpfung

Signalstärke

(40)

Signalstärken und Dämpfung

Spannung U, Strom I, Leistung P und Energie E:

𝑃𝑃 𝑊𝑊 = 𝑈𝑈 𝑉𝑉 � 𝐼𝐼 𝐴𝐴 , 𝑃𝑃 𝑊𝑊 = 𝐽𝐽 �

𝑠𝑠 = 𝐸𝐸 [𝐽𝐽]

𝑠𝑠

Dämpfung

Signalstärke

(41)

Dämpfung in Dezibel

Dezibel (dB): Verhältnis L zwischen zwei Leistungsgrößen P₁ und P₂

𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 10 � log ₁₀ 𝑃𝑃 ₁ 𝑃𝑃 ₂

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen Beispiele:

(42)

Dämpfung in Dezibel

𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 10 � log ₁₀ 𝑃𝑃 ₁ 𝑃𝑃 ₂

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen Beispiele:

0 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 1 = 10¹⁰⁰ = 𝑃𝑃₁ 𝑃𝑃₂ 3 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 2 ≈ 10¹⁰³ = 𝑃𝑃₁

𝑃𝑃₂ 10 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 10 = 10¹⁰¹⁰ = 𝑃𝑃₁

𝑃𝑃₂

(43)

Dämpfung in Dezibel

𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 10 � log ₁₀ 𝑃𝑃 ₁ 𝑃𝑃 ₂

Beispiele:

0 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 1 = 10¹⁰⁰ = 𝑃𝑃₁ 𝑃𝑃₂ 3 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 2 ≈ 10¹⁰³ = 𝑃𝑃₁

𝑃𝑃₂ 10 𝑑𝑑𝐵𝐵 → 10 = 10¹⁰¹⁰ = 𝑃𝑃₁

𝑃𝑃₂ Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen

𝐿𝐿 = 𝑃𝑃

₁

𝑃𝑃

₃

; 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 10 � log

₁₀

𝑃𝑃

₁

𝑃𝑃

₃

= 10 � log

₁₀

( 𝑃𝑃

₁

𝑃𝑃

₂

� 𝑃𝑃

₂

𝑃𝑃

₃

)

= 10 � log

₁₀

𝑃𝑃

₁

𝑃𝑃

₂

+ 10 � log

₁₀

𝑃𝑃

₂

𝑃𝑃

₃

= 𝐿𝐿

₁

[𝑑𝑑𝐵𝐵 ] + 𝐿𝐿

₂

[𝑑𝑑𝐵𝐵]

(44)

dBW und dBm

dBW und dBm zur logarithmischen Darstellung einer Leistungsgröße P [W]:

𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑊𝑊 = 10 log 𝑃𝑃 [𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑊𝑊]

𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑚𝑚 = 10 log 1000 � 𝑃𝑃 [𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑊𝑊]

Beispiel: Leistungsgröße P_out [dBW] bei Leistungsgröße P_in [dBW] und Dämpfung L [dB]

Leistungsgröße P_out [W]

(45)

dBW und dBm

dBW und dBm zur logarithmischen Darstellung einer Leistungsgröße P [W]:

𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑊𝑊 = 10 log 𝑃𝑃 [𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑊𝑊]

𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑚𝑚 = 10 log 1000 � 𝑃𝑃 [𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑊𝑊]

Beispiel: Leistungsgröße P_out [dBW] bei Leistungsgröße P_in [dBW] und Dämpfung L [dB]

𝑃𝑃

_{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}

𝑑𝑑𝐵𝐵𝑊𝑊 = 𝑃𝑃

_{𝑖𝑖𝑛𝑛}

𝑑𝑑𝐵𝐵𝑊𝑊 − 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐵𝐵 ( = 10 log 𝑃𝑃

_{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}

𝑊𝑊 )

Leistungsgröße P_out [W]

10 ^(𝑃𝑃

^{𝑖𝑖𝑖𝑖}

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝐿𝐿[𝑑𝑑𝑑𝑑])/10 = 𝑃𝑃 _{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} 𝑊𝑊

(46)

Thermisches Rauschen

Mittleres thermisches Rauschen N₀ [W/Hz] in einer Bandbreite von 1 Hz:

𝑁𝑁

₀

= 𝑘𝑘 � 𝑇𝑇 𝐽𝐽

𝐾𝐾 � 𝐾𝐾 = 𝑘𝑘 � 𝑇𝑇 𝑊𝑊 𝐻𝐻𝐻𝐻

k = Bolzmannkonstante (1.38 *10^-23 J/K), T = Temperatur in Kelvin [K]

Wie viel mittlere thermische Rauschleistung N [W] liegt bei einer Bandbreite von B Hz vor?

𝑁𝑁 = 𝑁𝑁

₀

� 𝐵𝐵 [

_{𝐻𝐻𝐻𝐻}^𝑑𝑑

� 𝐻𝐻𝐻𝐻]

(47)

Bitfehlerrate und Kanalkapazität

Bitfehlerrate

Datenrate

Bandbreite

Rauschen

Frage: mit welcher maximalen Bitrate können Daten über

(48)

Shannon-Kapazitätsformel

Für ein Signal mit mittlerer Signal-Leistung P [W] und mittlere

thermische Rauschleistung N [W] ist das Signal-Rausch-Verhältnis definiert als:

𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 = 𝑃𝑃

𝑁𝑁 → 𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 � log ₁₀ 𝑃𝑃 𝑁𝑁

Shannon-Kapazitätsformel zur Bestimmung der maximalen

Kanalkapazität C [bps] bei gegebener Kanalbandbreite B [Hz] und

gegebener SNR am Empfänger (ohne Beweis):

(49)

Shannon-Kapazitätsformel

Für ein Signal mit mittlerer Signal-Leistung P [W] und mittlere

thermische Rauschleistung N [W] ist das Signal-Rausch-Verhältnis definiert als:

𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 = 𝑃𝑃

𝑁𝑁 → 𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 � log ₁₀ 𝑃𝑃 𝑁𝑁

Shannon-Kapazitätsformel zur Bestimmung der maximalen

Kanalkapazität C [bps] bei gegebener Kanalbandbreite B [Hz] und gegebener SNR am Empfänger (ohne Beweis):

𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 � log ₂ 1 + 𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 [𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠 ]

(50)

Andere Störfaktoren neben thermischem Rauschen

0 1MHz

Dämpfung in dB relative zur Dämpfung von c MHz

Frequenzselektive Dämpfung

0 1MHz

Delay in Mikrosekunden

Delay-Distortion

(51)

Andere Störfaktoren neben thermischem Rauschen

0 1MHz

Dämpfung in dB relative zur Dämpfung von c MHz

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz 0 1MHz

Delay in Mikrosekunden

(52)

Andere Störfaktoren neben thermischem Rauschen

Crosstalk

Impulsstörung

Intermodulation

(53)

Kanalkapazität

Der Ausdruck Eb/N0

(54)

Definition von Eb/N0

Betrachte Datenübertragung mit Bitrate R [bps], Signalstärke S [W]. Eb/N0 setzt Energie pro Bit mit mittlerer thermischer Rauschleistung pro Herz in Relation

𝑬𝑬

_𝑴𝑴

= 𝑺𝑺

𝑹𝑹 [ 𝑾𝑾 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃

𝒔𝒔

= 𝑱𝑱 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 ]

𝑬𝑬

_𝑴𝑴

𝑵𝑵

_𝟎𝟎

[ 𝑱𝑱/𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑾𝑾/𝟒𝟒𝟒𝟒 ]

Zusammenhang zwischen Eb/N0 und SNR eines Signals mit Bandbreite B [Hz] und Signalleistung S [W]

(55)

Definition von Eb/N0

Betrachte Datenübertragung mit Bitrate R [bps], Signalstärke S [W]. Eb/N0 setzt Energie pro Bit mit mittlerer thermischer Rauschleistung pro Herz in Relation

𝑬𝑬

_𝑴𝑴

= 𝑺𝑺

𝑹𝑹 [ 𝑾𝑾 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃

𝒔𝒔

= 𝑱𝑱 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 ]

𝑬𝑬

_𝑴𝑴

𝑵𝑵

_𝟎𝟎

[ 𝑱𝑱/𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑾𝑾/𝟒𝟒𝟒𝟒 ]

Zusammenhang zwischen Eb/N0 und SNR eines Signals mit Bandbreite B [Hz] und Signalleistung S [W]

𝑵𝑵 = 𝑵𝑵_𝟎𝟎 � 𝑩𝑩 𝑾𝑾

𝟒𝟒𝟒𝟒 � 𝟒𝟒𝟒𝟒 , 𝑺𝑺𝑵𝑵𝑹𝑹 = 𝑺𝑺 𝑵𝑵_𝟎𝟎 � 𝑩𝑩 𝑬𝑬_𝑴𝑴

= 𝑺𝑺/𝑹𝑹

= 𝑺𝑺𝑵𝑵𝑹𝑹

(56)

Encoding und Modulation

(57)

Daten und Signale

Encoding

Modulation

(58)

Encoding und Modulation

Digitale Daten auf Digitalen Signalen

(59)

Signalelement und Baud

Zeit

Diskrete Signal-Level

+ –

0 00101101011011011011

Bits

Beispiel: Modulationsrate von 4000 Baud und 2 Bits pro Signalelement ergibt welche Datenrate?

(60)

Signalelement und Baud

Zeit

Diskrete Signal-Level

+ –

0 00101101011011011011

Bits

Beispiel: Modulationsrate von 4000 Baud und 2 Bits pro Signalelement ergibt welche Datenrate?

2 � 4000 [ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐

𝑠𝑠 � 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑠𝑠]

(61)

Nonreturn-to-Zero (NRZ)

0 Hi

(62)

Multilevel-Binary

0

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

(63)

Das Clocking-Problem

00111010101000000000000000000000000000000000000000000 Daten

Signal Sender

Sampling Empfänger

Zeit

Clock-Drift Zeit Clock-Synchronization

(64)

Biphase

0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

Lo Hi

(65)

BER-Vergleich

(66)

Scrambling am Beispiel B8ZS

B = Gültiges Bipolar-Signal V = Bipolar-Code-Violation

Polarität des vorigen Pulses Encoding von 00000000

– 0 0 0 – + 0 + –

(67)

Encoding formats – comparison

(68)

Encoding und Modulation

Digitale Daten auf Analogen Signalen

(69)

Amplitude-Shift-Keying (ASK)

Formal: Signal s(t) für Carrier-Frequenz f_c:

𝒔𝒔 𝒃𝒃 = �𝑨𝑨 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇 ^𝒄𝒄 𝒃𝒃 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟏𝟏

𝟎𝟎 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟎𝟎

(70)

Binary-Frequency-Shift-Keying (BFSK)

Formal: Signal s(t) für Frequenzen f₁ und f₂:

𝒔𝒔 𝒃𝒃 = �𝑨𝑨 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇^𝟏𝟏𝒃𝒃 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇_𝟐𝟐𝒃𝒃 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟎𝟎 Die Carrier-Frequenz f_c :

𝒇𝒇_𝟐𝟐 − 𝒇𝒇_𝟏𝟏

𝟐𝟐 = 𝒇𝒇_𝒄𝒄

(71)

Multiple-FSK (MFSK)

Formal Signal s_i(t) für ites Signalelement

Frequenzen

f

_c

f_c + f_d f_c + 3 f_d f_c - f_d

f_c - 3 f_d

…

f_i = f_c + (2 i – 1 – M) f_d f_c = Carrier-Frequenz f_d = Differenzfrequenz

M = Anzahl der Signalelemente L = Anzahl Bits pro Signal

(also M = 2^L) Minimal erlaubtes f_d, wenn Signale T Sekunden

dauern (ohne Beweis):

(72)

Multiple-FSK (MFSK)

Formal Signal s_i(t) für ites Signalelement

𝒔𝒔 _𝒃𝒃 (𝒃𝒃) = 𝟐𝟐 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇 _𝒃𝒃 𝒃𝒃)

Frequenzen

f

_c

f_c + f_d f_c + 3 f_d f_c - f_d

f_c - 3 f_d

…

f_i = f_c + (2 i – 1 – M) f_d f_c = Carrier-Frequenz f_d = Differenzfrequenz

M = Anzahl der Signalelemente L = Anzahl Bits pro Signal

(also M = 2^L) Minimal erlaubtes f_d, wenn Signale T Sekunden

dauern (ohne Beweis):

𝟐𝟐 � 𝒇𝒇 _𝒅𝒅 = 𝟏𝟏

𝑻𝑻

(73)

Multiple-FSK (MFSK)

Frequenzen

f

_c

f_c + f_d f_c + 3 f_d f_c - f_d

f_c - 3 f_d

…

(74)

Binary-Phase-Shift-Keying (BPSK)

Formal: BPSK-Signal s(t) für Carrier-Frequenz f_c:

𝒔𝒔 𝒃𝒃 = �𝑨𝑨 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇

^𝒄𝒄

𝒃𝒃 + 𝟎𝟎 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒇𝒇

_𝒄𝒄

𝒃𝒃 + 𝟐𝟐 , 𝑴𝑴𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝟎𝟎

BPSK Differential BPSK (DPSK)

(75)

Quadrature-Phase-Shift-Keying (QPSK)

Formal: QPSK-Signal s(t) für Carrier-Frequenz f_c: Konstellationsdiagramm

0 π/2

π

3π/2

(76)

Quadrature-Phase-Shift-Keying (QPSK)

Formal: QPSK-Signal s(t) für Carrier-Frequenz f_c: Konstellationsdiagramm

0 π/2

π

3π/2

(77)

Offset-QPSK (OQPSK)

(78)

Summation der I- und Q-Signale

Carrier + Shifted= Phase π/4 – Carrier+ Shifted= Phase 3π/4

Carrier– Shifted= Phase –π/4 – Carrier– Shifted= Phase – 3π/4

(79)

OQPSK vermeidet 180 Grad Phasensprünge

(80)

Quadrature-Amplitude-Modulation (QAM)

(81)

Konstellationsdiagramme im Detail

QAM-16

QAM-64

Anzahl Bits pro Symbol bei Verwendung von n-Level ASK:

(82)

Konstellationsdiagramme im Detail

QAM-16

QAM-64

Anzahl Bits pro Symbol bei Verwendung von n-Level ASK:

𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 � 𝐥𝐥𝐜𝐜𝐥𝐥 _𝟐𝟐 𝒏𝒏

(83)

Benötigte Bandbreite bei fehlerfreiem Kanal

ASK und PSK:

𝐵𝐵 _𝑇𝑇 = (1 + 𝑒𝑒) � 𝑆𝑆

B_T

ist die für die Übertragung benötigte Bandbreite in

Hz R

ist die Datenrate in

bps

0 < r < 1 ist ein systemabhängiger Parameter

FSK mit ∆F = f₂ – f_c = f_c – f₁:

𝐵𝐵 _𝑇𝑇 = 2∆𝐹𝐹 + (1 + 𝑒𝑒) � 𝑆𝑆

MPSK:

𝐵𝐵 _𝑇𝑇 = 1 + 𝑒𝑒 � 𝑆𝑆 𝐿𝐿

MFSK ohne Berücksichtigung von ∆F :

𝐵𝐵 _𝑇𝑇 = 1 + 𝑒𝑒 � 𝑆𝑆

𝐿𝐿 � 2 ^𝐿𝐿

(84)

Beispielplot der spektralen Effizienz

Spektrale Effizienz

MPSK

ASK und PSK FSK ^narrowband

(∆F ~f_c)

MFSK

FSK wideband (∆F >> R)

L=2 L=4 L=8

L=2 L=4

L=8

Systemparameter: 0<= r <= 1

(85)

Bitfehlerraten von MFSK und MPSK

(86)

Beispiele für Übertragungsmedien

(87)

Twisted-Pair

Beispiel: 20m Cat-5-Patchkabel mit vier Kabelpaaren (RJ45-Stecker)

(z.B. für Gigabit-Ethernet) Category-3

Category-5

Kategorie Bandbreite

Cat3 16 MHz

Cat5 100 MHz

Cat6 200 MHz

Cat7 600 MHz

(88)

Coaxial-Cable

Bandbreite bis zu 1GHz

(89)

Glasfaser

Beispiel:

50Gbps über 100km

(90)

Glasfaser

Step-Index-Multimode

Graded-Index-Multimode

Single-Mode

(91)

Drahtlos

(92)

Gerichtet und Ungerichtet

(93)

Zusammenfassung und Literatur

(94)

Zusammenfassung

• Übertragung von Bits mittels physikalischer Signale

• Basisband und Bandpass

• Einfluss der Kanalbandbreite auf die Datenrate

• Einfluss von Kanalstörungen auf die Datenrate

• Mehr Bits pro Signalelemente erhöht die Datenrate

• Mehr Bits pro Signalelemente erhöht die Fehlerrate

• Shannon-Theorem als Obere Grenze der Datenrate

(95)

Grundlagen der Rechnernetze