Generelle Berechnung des Frequenzanteils

(1)

Ergebnis des vorigen Beispiels

(2)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der n‐ten Harmonischen (ohne Beweis)?

(3)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der n‐ten Harmonischen (ohne Beweis)?

(4)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

(5)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

(6)

Aperiodische Signale in der Frequenzdomäne

(7)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(8)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

(9)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter‐Beispiel

(10)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter‐Beispiel

(11)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

Bandbreite für f₀= 1MHz

(12)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

5 1 4

7 1 6

(13)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

Verwende Rechtecksignal mit f₀ = 1 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Was ist die Datenrate d?

1 0 1 0

Daten Signal

(14)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

⁄ /

1 0 1 0

Daten Signal

(15)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz

Bandbreite

(16)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

Was ist die Periode T? , ·

Was ist die Datenrate d? ⁄ / , ·

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz

Bandbreite

(17)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

(4/)[sin(2f₀t) + (1/3) sin (2 (3f₀) t)]

(4/ )[sin(2 f₀ t) + (1/3) sin (2 (3f₀) t)+(1/5) sin(2 (5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(18)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

Was ist die Periode T? , ·

Was ist die Datenrate d? ⁄ / , ·

(4/)[sin(2f₀t) + (1/3) sin (2 (3f₀) t)]

(4/ )[sin(2 f₀ t) + (1/3) sin (2 (3f₀) t)+(1/5) sin(2 (5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(19)

Wo liegen die Grenzen?

Voltage Voltage Voltage

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Fourier series with 128 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fourier series with 1 harmonic

01100010 01100010 01100010

(20)

Kanalkapazität

(21)

Kanalkapazität

Störfreier Kanal

(22)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B erlaubt eine Übertragungsrate S von (ohne Beweis):

(23)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B erlaubt eine Übertragungsrate S von (ohne Beweis):

2 · 2

(24)

Nyquist‐Bandbreite

0 1 2 3 4

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

Symbol wert

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

Allgemein (Nyquist‐Bandbreite): Für M Signalzustände ist die Bitrate C mit voriger Folie:

(25)

Nyquist‐Bandbreite

0 1 2 3 4

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

Symbol wert

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

Allgemein (Nyquist‐Bandbreite): Für M Signalzustände ist die Bitrate C mit voriger Folie:

(26)

Kanalkapazität

Gestörter Kanal

(27)

Signalstärken und Dämpfung

Spannung U, Strom I, Leistung P und Energie E:

Dämpfung

Signalstärke

(28)

Signalstärken und Dämpfung

Spannung U, Strom I, Leistung P und Energie E:

Dämpfung

Signalstärke

(29)

Dämpfung in Dezibel

Dezibel (dB): Verhältnis L zwischen zwei Leistungsgrößen P₁ und P₂

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen Beispiele:

(30)

Dämpfung in Dezibel

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen Beispiele:

0 → 1 10 3 → 2 10 10 → 10 10

(31)

Dämpfung in Dezibel

Beispiele:

0 → 1 10 3 → 2 10 10 → 10 10

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen

; 10 · log 10 · log ·

10 · log 10 · log

(32)

dBW und dBm

dBW und dBm zur logarithmischen Darstellung einer Leistungsgröße P [W]:

10 log 10 log 1000 ·

Beispiel: Leistungsgröße P_out [dBW] bei Leistungsgröße P_in [dBW] und Dämpfung L [dB]

Leistungsgröße P_out [W]

(33)

dBW und dBm

dBW und dBm zur logarithmischen Darstellung einer Leistungsgröße P [W]:

10 log 10 log 1000 ·

Beispiel: Leistungsgröße P_out [dBW] bei Leistungsgröße P_in [dBW] und Dämpfung L [dB]

10 log

Leistungsgröße P_out [W]

/

(34)

Thermisches Rauschen

Mittleres thermisches Rauschen N₀ [W/Hz] in einer Bandbreite von 1 Hz:

· · ·

k = Bolzmannkonstante (1.38 *10^‐23 J/K), T = Temperatur in Kelvin [K]

Wie viel mittlere thermische Rauschleistung N [W] liegt bei einer Bandbreite von B Hz vor?

· ·

(35)

Bitfehlerrate und Kanalkapazität

Bitfehlerrate

Datenrate

Bandbreite

Rauschen

Frage: mit welcher maximalen Bitrate können Daten über

(36)

Shannon‐Kapazitätsformel

Für ein Signal mit mittlerer Signal‐Leistung P [W] und mittlere

thermische Rauschleistung N [W] ist das Signal‐Rausch‐Verhältnis definiert als:

Shannon‐Kapazitätsformel zur Bestimmung der maximalen

Kanalkapazität C [bps] bei gegebener Kanalbandbreite B [Hz] und

gegebener SNR am Empfänger (ohne Beweis):

(37)