• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(1)

Grundlagen der Rechnernetze

Physikalische Schicht

(2)

Übersicht

• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

• Kanalkapazität

• Encoding und Modulation

• Beispiele für Übertragungsmedien

(3)

Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(4)

Signal s(t)

Formal:

Zeit

Analog

Formal:

Zeit

Digital

Formal:

Zeit

Periodisch

(5)

Sinusoid (Darstellung in der Zeitdomäne)

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

Sinusoid:

Zusammenhang zwischen Frequenz f [Hz]

und Periode T [s]:

Wellenlänge  [m] bei Signalausbreitungs‐

geschwindigkeit v [m/s]:

(6)

Signale haben Frequenzanteile

sin(2 f t)

(1/3)sin(2 (3 f) t)

(4/

)[sin(2

f t) + (1/3) sin (2 (3f) t)]

(7)

Darstellung in der Frequenzdomäne

(8)

Fourier‐Reihendarstellung periodischer Signale

Zeit Periode

=

+

+ + ...

Fundamentalfrequenz

Zweite Harmonische Dritte Harmonische Vierte Harmonische

(9)

Fourier‐Reihendarstellung periodischer Signale

sin

cos

+

=

(10)

Fourier‐Reihendarstellung periodischer Signale

Bestimmung der Koeffizienten:

Beispiel: Bestimmung der Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals (im Folgenden) 1.0

0.5 0.0

‐0.5

‐1.0

0.0 0.5T 1.0T 1.5T 2.0T

(11)

Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals

Bestimmung von a₀ (die DC‐Komponente)

1.0 0.5 0.0

‐0.5

‐1.0

0.0 0.5T 1.0T 1.5T 2.0T

(12)

Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals

Bestimmung von b_n und a_n

1.0 0.5 0.0

‐0.5

‐1.0

0.0 0.5T 1.0T 1.5T 2.0T

(13)

Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals

Lösen des Ausdrucks 𝑏 · ^/ sin 𝑑𝑡 _/ sin 𝑑𝑡 und

𝑎 · ^/ cos 𝑑𝑡 _/ cos 𝑑𝑡

Z.B. mittels sympy in folgenden Beispielumgebungen:

• Linux: sudo apt install python3-sympy

• bzw. allgemein sudo apt install python3

• für Plots beispielsweise sudo apt install python3-matplotlib

• Windows: z.B. Download unter www.python.org (dort gibt’s auch einfachen Interpreter im Browser)

• Cloud: z.B. cocalc.com (Cloud‐Lösung für viele Software‐Tools, u.a. Sage, Python (Jupyter Notebook)

from sympy import * t = Symbol('t')

n = Symbol('n') T = Symbol('T')

expr = 2/T * (integrate(sin(2*pi*n*t/T), (t, 0, T/2)) - integrate(sin(2*pi*n*t/T), (t, T/2, T))) tmp = simplify(expr)

pprint(tmp)

res = tmp.args[0][0]

for x in range(1,10) :

print(“n =“, x , „->“ , res.subs(n,x))

(14)

Ergebnis des Beispiels

1f₀ 3f₀ 5f₀ 7f₀ 9f₀

...

(15)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c_n der nten Harmonischen:

Bemerkung: zur Darstellung eines periodischen Signals muss nicht nur die Amplitude jeder Harmonischen eingestellt werden, sondern auch die Phase.

Mit den Koeffizienten a_n zu cos(...) und b_n zu sin(...) lässt sich die Phase der nten Harmonischen einstellen. Jede Harmonische ist somit durch den Vektor (a_n , b_n) vertreten.

(16)

Spektrum und Bandbreite

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

(17)

Herleitung: Aperiodische Signale

(18)

Herleitung: Aperiodische Signale

(19)

Aperiodische Signale in der Frequenzdomäne

Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum

(20)

Spektrum und Bandbreite

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spektrum: Bandbreite:

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(21)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0 1MHz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium Weiteres Filter‐Beispiel

(22)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

Bandbreite für f₀ = 1MHz

(23)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

Verwende Rechtecksignal mit f₀ = 1 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Was ist die Datenrate d?

1 0 1 0

Daten Signal

(24)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

Was ist die Bandbreite?

1 0 1 0

Daten Signal

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz

Bandbreite

(25)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

Was ist die Bandbreite für (2)?

(4/ )[sin(2 f₀ t) + (1/3) sin (2(3f₀) t)]

(4/)[sin(2f₀ t) + (1/3) sin (2(3f₀) t)+(1/5) sin(2(5f₀) t)]

Voriges Ergebnis (mit f

₀

= 1 MHz)

für (1):

2Mbps bei 4MHz Bandbreite

(1) (2)

(26)

Wo liegen die Grenzen?

Voltage Voltage Voltage

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Fourier series with 128 harmonics

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fourier series with 1 harmonic

01100010 01100010 01100010

(27)

Kanalkapazität

(28)

Kanalkapazität

Störfreier Kanal

(29)

Sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 8 Harmonische

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 2 Harmonische

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

Störfreier Kanal mit Bandbreite B [Hz] erlaubt eine Übertragungsrate S [Signal/s] von (ohne Beweis):