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• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

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(1)

Grundlagen der Rechnernetze

Physikalische Schicht

Physikalische Schicht

(2)

Übersicht

• Frequenz, Spektrum und Bandbreite

• Kanalkapazität Kanalkapazität

• Encoding und Modulation

• Beispiele für Übertragungsmedien

(3)

Frequenz, Spektrum und Bandbreite

(4)

Signal s(t)

Formal:

Analog

Zeit

g

Formal:

Zeit

Digital

Zeit

Formal:

Formal:

Periodisch

Zeit

(5)

Sinusoid

Sinusoid:

Sinusoid:

Zusammenhang zwischen Frequenz f [Hz] 

und Periode T [s]:

Wellenlänge   [m] bei Signalausbreitungs‐

geschwindigkeit v [m/s]:

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(6)

Frequenzanteile

(4/ )[sin(2 f t) + (1/3) sin (2 (3f) t)]

sin(2 ( f t) )

(1/3)sin(2 (3 f) t) (1/3)sin(2 (3 f) t)

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(7)

Darstellung in der Frequenzdomäne

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(8)

Fourier‐Reihendarstellung periodischer Signale

Bestimmung der Koeffizienten: g

Beispiel: Bestimmung der Koeffizienten eines periodischen Rechteck‐Signals an der Tafel 1.0

0.5 0.0

‐0.5

‐1.0 1.0

0.0 0.5T 1.0T 1.5T 2.0T

(9)

Herleitung an der Tafel

(10)

Ergebnis des vorigen Beispiels

1f

0

3f

0

5f

0

7f

0

9f

0

...

(11)

Generelle Berechnung des Frequenzanteils

Frequenzanteil c q

nn

der nten Harmonischen (ohne Beweis)? ( )

(12)

Spektrum und Bandbreite

0.6 0.8

0 2 0.4 0.6

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0.0 0.2

0 1f 2f 3f 4f 5f 6f

Spektrum: Bandbreite:

(13)

Aperiodische Signale in der Frequenzdomäne

Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum

(14)

Spektrum und Bandbreite

0.6 0.8

0 2 0.4 0.6

0 1MHz

0.0 0.2

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

0 1MHz

Spektrum: Bandbreite:

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(15)

Übertragung in realem physikalischem Medium

0.8

Gesamtspektrum des Signals

Spektrum des Signals im Medium

0.6

Weiteres Filter‐Beispiel

0.4

0 2 0.2

0 1MHz

0.0

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

(16)

Einfluss des Mediums auf die Signalqualität

Bandbreite für f

0

= 1MHz

Bandbreite für f

0

= 1MHz

Bandbreite für f

0

= 1MHz

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(17)

Zusammenhang zwischen Datenrate und Bandbreite

Signal

Verwende Rechtecksignal mit f

0

= 1 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

1 0 1 0

Daten

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Was ist die Datenrate d?

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(18)

Doppelte Bandbreite gleich doppelte Datenrate

Signal

Verwende Rechtecksignal mit f

0

= 2 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

1 0 1 0

Daten

Was ist die Bandbreite?

Was ist die Periode T?

Voriges Ergebnis:

Was ist die Datenrate d?

Voriges Ergebnis:

2Mbps bei 4MHz  Bandbreite

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(19)

Besserer Empfänger erlaubt höhere Datenrate

(1) (2)

Verwende Rechtecksignal mit f

0

= 2 MHz zur Übertragung von Bitsequenz 101010…

(4/ )[sin(2 f

0

t) + (1/3) sin (2 (3f

0

) t)]

(4/ )[sin(2 f

0

t) + (1/3) sin (2 (3f

0

) t)+(1/5) sin(2 (5f

0

) t)]

Verwende Rechtecksignal mit f

0

MH ur Übertragung von itsequen 0 0 0…

Was ist die Bandbreite für (2)?

Voriges Ergebnis  Was ist die Periode T?

g g

(mit f

0

= 1 MHz)  für (1):

Was ist die Datenrate d? 2Mbps bei 4MHz 

Bandbreite

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(20)

Wo liegen die Grenzen?

0 8 1 1.2

Fourier series with 128 harmonics

0 8 1 1.2

Fourier series with 32 harmonics

0 8 1 1.2

Fourier series with 8 harmonics

Voltage Voltage Voltage

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0

01100010 01100010 01100010

0.8 1

1.2 Fourier series with 4 harmonics

0.8 1

1.2 Fourier series with 2 harmonics

1

Fourier series with 1 harmonic

Voltage Voltage Voltage

0 0.2 0.4 0.6

0 0.2 0.4 0.6

0.4 0.6 0.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2

01100010 01100010 01100010

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

(21)

Kanalkapazität

(22)

Kanalkapazität

Stö f i K l

Störfreier Kanal

(23)

Sampling

8 H i h 2 H i h

1

1.2

8 Harmonische

1

1.2

2 Harmonische

0.6 0.8

0.4 0.6 0.8

0.2 0.4

0 0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2

0 1 1 0 0 0 1 0

0 ? 1 0 ? ? ? 0

Störfreier Kanal mit Bandbreite B erlaubt eine Übertragungsrate S von (ohne Beweis):

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

(24)

Nyquist‐Bandbreite

Si l it i Z tä d

2.5 3

Signal mit vier Zuständen Übertragungsrate S wie auf voriger Folie:

1.5 2

mbol wert

0.5 1

Sy

0 1 2 3 4

0

Allgemein (Nyquist‐Bandbreite): Für M Signalzustände ist die Bitrate C mit voriger Folie:

Bildquelle: Holger Karl, Vorlesungsfolien zur Vorlesung Rechnernetze WS2011/2012

(25)

Kanalkapazität

G tö t K l

Gestörter Kanal

(26)

Signalstärken und Dämpfung

Spannung U, Strom I, Leistung P und Energie E:

Dämpfung

ke Signals tä rk S

Distanz

(27)

Dämpfung in Dezibel

Dezibel (dB): Verhältnis L zwischen zwei  Leistungsgrößen P

1

und P

2

Beispiele:

Beispiel: dB Rechnung bei kaskadierten Übertragungswegen

(28)

dBW und dBm

dBW und dBm zur logarithmischen Darstellung einer Leistungsgröße P [W]:

Beispiel: Leistungsgröße P

out

[dBW] bei Leistungsgröße P

in

[dBW] und Dämpfung L [dB]

Leistungsgröße P

out

[W] 

(29)

Thermisches Rauschen

Mittleres thermisches Rauschen N

0

[W/Hz] in einer Bandbreite von 1 Hz:

k = Bolzmannkonstante (1.38 × ( 10

‐23

J/K), T = Temperatur in Kelvin [K] ) p [ ]

Wie viel mittlere thermische Rauschleistung N [W] liegt bei einer Bandbreite von B Hz vor? 

(30)

Bitfehlerrate und Kanalkapazität

Bandbreite Bandbreite

Datenrate Rauschen

Bitfehlerrate Bitfehlerrate

Frage: mit welcher maximalen Bitrate können Daten über 

einen Kommunikationskanal gesendet werden?

(31)

Shannon‐Kapazitätsformel

Für ein Signal mit mittlerer Signal‐Leistung P [W] und mittlere 

thermische Rauschleistung N [W] ist das Signal‐Rausch‐Verhältnis  definiert als:

Shannon‐Kapazitätsformel zur Bestimmung der maximalen 

Kanalkapazität C [bps] bei gegebener Kanalbandbreite B [Hz] und

Kanalkapazität C [bps] bei gegebener Kanalbandbreite B [Hz] und 

gegebener SNR am Empfänger (ohne Beweis):

(32)

Andere Störfaktoren neben thermischem Rauschen

MHz fung   vo n   c   en

e   zur   Dämp kr osek und

dB   re la ti ve D ela y   in   Mi

m p fung   in   D

0 1MHz

Dä m

2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

F l k i Dä f

0 1MHz 2MHz 3MHz 4MHz 5MHz 6MHz

D l Di i

Frequenzselektive Dämpfung  Delay‐Distortion

(33)

Andere Störfaktoren neben thermischem Rauschen

Crosstalk

Intermodulation

Impulsstörung

(34)

Kanalkapazität

D A d k Eb/N0

Der Ausdruck Eb/N0

(35)

Definition von Eb/N0 

Betrachte Datenübertragung mit Bitrate R [bps], Signalstärke S [W]. Eb/N0 setzt Energie  pro Bit mit mittlerer thermischer Rauschleistung pro Herz in Relation 

Z h i h Eb/N0 d SNR i Si l i B db i B [H ] d

Zusammenhang zwischen Eb/N0 und SNR eines Signals mit Bandbreite B [Hz] und 

Signalleistung S [W]

(36)

Encoding und Modulation

(37)

Daten und Signale

Encoding

Modulation

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(38)

Encoding und Modulation

Di it l D t f Di it l Si l

Digitale Daten auf Digitalen Signalen

(39)

Signalelement und Baud

e l gnal Le ve +

0 Zeit

iskr et e   Si g

0 00101101011011011011

Bits

D

Beispiel: Modulationsrate von 4000 Baud und 2 Bits pro Signalelement ergibt welche  Datenrate? 

(Baud = Signalelemente pro Sekunde).

(40)

Nonreturn‐to‐Zero (NRZ)

Hi 0

0 Hi

0

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(41)

Multilevel‐Binary

0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0

0

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(42)

Das Clocking‐Problem

Sender

00111010101000000000000000000000000000000000000000000 Daten

Signal

Zeit

Empfänger

Sampling

Clock‐Drift Zeit

Clock‐Synchronization

(43)

Biphase

0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

Lo Hi

Hi Lo

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(44)

BER‐Vergleich

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(45)

Scrambling am Beispiel B8ZS

B = Gültiges Bipolar‐Signal V = Bipolar‐Code‐Violation

Polarität des vorigen Pulses Encoding von 00000000

0 0 0 – + 0 + –

V   Bipolar Code Violation

+ 0 0 0 + – 0 – +

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(46)

Vergleich der Spektralen Dichten

Randbemerkung 1:

Randbemerkung 2:

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(47)

Encoding und Modulation

Di it l D t f A l Si l

Digitale Daten auf Analogen Signalen

(48)

Amplitude‐Shift‐Keying (ASK)

Formal: Signal s(t) für Carrier‐Frequenz f

c

:

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(49)

Binary‐Frequency‐Shift‐Keying (BFSK)

Formal: Signal s(t) für Frequenzen f

1

und f

2

:

Die Carrier‐Frequenz f

c

:

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(50)

Multiple‐FSK (MFSK)

Frequenzen

f c

f

c

+ f

d

f

c

+ 3 f

d

f

c

f

d

f

c

3 f

d

Formal Signal s

i

(t) für ites Signalelement

f

i

= f

c

+ (2 i – 1 – M) f

d

f

c

= Carrier‐Frequenz f

d

= Differenzfrequenz

M  = Anzahl der Signalelemente Minimal erlaubtes f

d

, wenn Signale T Sekunden 

dauern (ohne Beweis):

L    = Anzahl Bits pro Signal (also M = 2

L

)

dauern (ohne Beweis):

(51)

Binary‐Phase‐Shift‐Keying (BPSK)

BPSK Differential BPSK (DPSK)

Formal: BPSK‐Signal s(t) für Carrier‐Frequenz f

c

:

( )

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(52)

Quadrature‐Phase‐Shift‐Keying (QPSK)

Formal: QPSK‐Signal s(t) für Carrier‐Frequenz f

c

: Konstellationsdiagramm

/2

 0

3/2

3/2

(53)

Offset‐QPSK (OQPSK)

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(54)

Summation der I‐ und Q‐Signale

Carrier + Shifted = Phase /4 Carrier + Shifted = Phase 3/4

Carrier Shifted = Phase –/4 Carrier Shifted = Phase – 3/4

(55)

OQPSK vermeidet 180 Grad Phasensprünge

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(56)

Quadrature‐Amplitude‐Modulation (QAM)

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(57)

Konstellationsdiagramme im Detail

QAM‐16

QAM‐64

A hl Bit S b l b i V d L l ASK

Anzahl Bits pro Symbol bei Verwendung von n‐Level ASK:

Bildquelle: Andrew S. Tanenbaum, „Computer Networks“, Fourth Edition, 2003 und Behrouz A. Forouzan, „Data Communications and Networking“, Fourth Edition, 2007

(58)

Benötigte Bandbreite bei fehlerfreiem Kanal

ASK und PSK: FSK mit F = f

2

f

c

= f

c

f

1

:

MPSK: MFSK ohne Berücksichtigung von F :

B

T

ist die für die Übertragung benötigte Bandbreite in Hz R ist die Datenrate in bps

0 < r < 1 ist ein systemabhängiger Parameter y g g

L ist die Anzahl codierter Bits

(59)

Beispielplot der spektralen Effizienz

L=8

MPSK L=2

L=4 L=8

ASK und PSK FSK 

narrowband

(F ∼fc)

L=2

Spektrale Effizienz

c

MFSK L=4

p

L=8

FSK 

wideband (F >> R)

S t t 0< < 1

L = Anzahl Bits pro Signalelement

Systemparameter: 0<= r <= 1

(60)

Bitfehlerraten von MFSK und MPSK

M=Anzahl Signalelemente M=Anzahl Signalelemente

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(61)

Beispiele für Übertragungsmedien

(62)

Twisted‐Pair

Category‐3

Beispiel: 20m Cat‐5‐Patchkabel mit Category 3

Category‐5 p

vier Kabelpaaren (RJ45‐Stecker) (z.B. für Gigabit‐Ethernet) g y

Kategorie Bandbreite

Cat3 16 MHz

Cat3 16 MHz

Cat5 100 MHz

Cat6 200 MHz

Cat7 600 MHz

Bildquelle: Andrew S. Tanenbaum, „Computer Networks“, Fourth Edition, 2003, http://de.wikipedia.org/wiki/Twisted‐Pair‐Kabel und William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(63)

Coaxial‐Cable

Bandbreite bis zu   1GHz

Bildquelle: Andrew S. Tanenbaum, „Computer Networks“, Fourth Edition, 2003, und William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(64)

Glasfaser

Beispiel:  p 50Gbps über 

100km

Bildquelle: Andrew S. Tanenbaum, „Computer Networks“, Fourth Edition, 2003, und William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(65)

Glasfaser

Step‐Index‐Multimode p

Graded‐Index‐Multimode

Single‐Mode Single Mode

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(66)

Drahtlos

Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, Seventh Edition, 2004

(67)

Gerichtet und Ungerichtet

Bildquellen: http://www.cisco.com/en/US/tech/tk722/tk809/technologies_tech_note09186a00807f34d3.shtml, http://mwrf.com/Articles/ArticleID/5488/5488.html und http://en.wikipedia.org/wiki/E‐plane_and_H‐plane

(68)

Zusammenfassung und Literatur

(69)

Zusammenfassung

• Übertragung von Bits mittels physikalischer Signale

• Basisband und Bandpass p

• Einfluss der Kanalbandbreite auf die Datenrate

• Einfluss von Kanalstörungen auf die Datenrate

• Einfluss von Kanalstörungen auf die Datenrate

• Mehr Bits pro Signalelemente erhöht die Datenrate

• Mehr Bits pro Signalelemente erhöht die Fehlerrate

• Shannon‐Theorem als Obere Grenze der Datenrate 

(70)

Literatur

[Stallings2004] William Stallings, „Data and

Computer Communications“, Seventh Edition,  p , , 2004

3 1 Concepts and Terminology 3.1 Concepts and Terminology 3.3 Transmission Impairments 3.4 Channel Capacity

3.A Decibels and Signal Strength g g 4.1 Guided Transmission Media 5 1 Digital Data Digital Signals 5.1 Digital Data, Digital Signals 5.2 Digital Data, Analog Signals

B.1 Fourier Series Representation of Periodic Signals

Referenzen