Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 2: WS 2006/07)

16. ¨Ubung Vorbemerkung:

In diesem ¨Ubungsblatt besch¨aftigen wir uns mit der Herleitung von Opti- malit¨atsbedingungen f¨ur allgemeinere Optimalsteuerungsprobleme mit para- bolischen Differentialgleichungen. Die Verallgemeinerungen betreffen verteilte statt Randsteuerungen, allgemeinere Zielfunktionale und allgemeinere ellipti- sche Operatoren in den parabolischen Gleichungen.

1) Optimale instation¨are Temperaturquelle.

Gegeben sei das linear-quadratische parabolische Optimalsteuerungsproblem minJ(y, u) := 1

2 Z

Σ

(y(x, t)−y_Σ(x, t))² ds(x) dt+ λ 2

ZZ

Q

u(x, t)²dxdt

= 1

2ky−y_Σk²_L2(Σ)+λ

2kuk²_L2(Q)

unter den Nebenbedingungen

y_t−∆y=β u in Q ,

∂y_ν = 0 in Σ, y(0) = 0 in Ω sowie

u∈U_ad :={u∈L²(Q) : u_a(x, t)≤u(x, t)≤u_b(x, t) fast ¨uberall inQ}. Dabei sollen folgende Voraussetzungen gelten: Es sei Ω⊂IR^N ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Γ und Q := Ω×(0, T), T > 0, der Raum-Zeit- Zylinder mit Rand Σ := Γ×(0, T). Es seien y_Σ ∈ L²(Σ), β ∈ L^∞(Q), u_a ∈ L²(Q) und u_b ∈L²(Q). Ferner sei λ >0.

Man zeige: Eine Steuerung ¯u ∈ U_ad ist genau dann optimal f¨ur das Problem der optimalen instation¨aren Temperaturquelle, wenn sie der folgenden Varia- tionsungleichung gen¨ugt

ZZ

Q

(β(x, t)p(x, t) +λu(x, t)) (u(x, t)¯ −u(x, t)) dx¯ dt ≥0 ∀ u∈U_ad.

Man gebe das zugeh¨orige adjungierte System an.

Hinweis: Man passe die Vorgehensweise aus der Vorlesung zum analogen Be- weis f¨ur eine optimale instation¨are Randtemperatur an und begr¨unde jeden Schritt genau, insbesondere die Anwendung der einschl¨agigen S¨atze aus der Vorlesung bzw. dem Buch von F. Tr¨oltzsch.

2) Differentialoperator in Divergenzform.

Gegeben sei das linear-quadratische parabolische Optimalsteuerungsproblem minJ(y, v, u) := λ_Ω

2 ky(T)−y_Ωk²_L2(Ω)+λ_Q

2 ky−y_Qk²_L2(Q)

+λ_Σ

2 ky−y_Σk²_L2(Σ)+ λ_v

2 kvk²_L2(Q)+λ_u

2 kuk²_L2(Σ)

unter den Nebenbedingungen

y_t(t) +Ay(t) +c₀(t)y(t) =d(t)v(t) inQ ,

∂_νAy(t) +α(t)y(t) =b(t)u(t) in Σ,

y(0) =y₀ in Ω

f¨ur alle t∈(0, T) sowie

v ∈V_ad :={v ∈L²(Q) : v_a(x, t)≤v(x, t)≤v_b(x, t) fast ¨uberall inQ}, u∈U_ad :={u∈L²(Σ) : u_a(x, t)≤u(x, t)≤u_b(x, t) fast ¨uberall in Σ}. Dabei sollen folgende Voraussetzungen gelten: Es sei Ω ∈IR^N ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Γ und Q := Ω×(0, T), T > 0, der Raum-Zeit- Zylinder mit Rand Σ := Γ×(0, T).

A ist der in ¨Ubungsaufgabe 5, Aufgabe 1 eingef¨uhrte gleichm¨aßig elliptische Differentialoperator in Divergenzform:

Ay(x) =−

N

X

i,j=1

D_i a_ij(x)D_jy(x) .

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Die nicht vontabh¨angigen Koeffizientenfunktionena_ijvonAsollen ausL^∞(Ω) sein, der Symmetriebedingung a_ij(x) = a_ji(x) in Ω gen¨ugen sowie mit ei- nem α₀ >0 die Bedingung der gleichm¨aßigen Elliptizit¨at

N

X

i,j=1

a_ij(x)ξ_iξ_j ≥α₀|ξ|²

f¨ur alle Vektoren ξ ∈ IR^N und alle x ∈ Ω erf¨ullen. Mit ∂_νA bezeichnen wir wieder die Ableitung in Richtung der KonormalenνA, definiert durch

(νA)i(x) =

N

X

j=1

a_ij(x)ν_j.

F¨ur die in der Aufgabenstellung auftretenden Funktionen gelte: c₀ ∈ L^∞(Q), d ∈ L^∞(Q), α ∈ L^∞(Σ), b ∈ L^∞(Σ), y₀ ∈ L²(Ω), v_a ∈ L²(Q), v_b ∈ L²(Q), u_a∈L²(Σ) undu_b ∈L²(Σ). Ferner seien y_Ω ∈L²(Ω), y_Q∈L²(Q),y_Σ∈L²(Σ) sowie alle Parameter λ_Ω, λ_Q,λ_Σ,λ_v und λ_u positiv.

Man zeige:

a) Das allgemeine Optimalsteuerungsproblem mit Differentialoperator in Divergenzform besitzt unter den getroffenen Voraussetzungen optimale Steuerungen ¯v und ¯u, die im Fall λ_v >0 und λ_u >0 eindeutig sind.

b) Ein Paar von Steuerungen ¯v ∈ V_ad und ¯u∈ U_ad ist genau dann optimal f¨ur das obige allgemeine parabolische Optimalsteuerungsproblem, wenn es den folgenden Variationsungleichungen gen¨ugt

ZZ

Q

(d(x, t)p(x, t) +λ_v ¯v(x, t)) (v(x, t)−v(x, t)) dx¯ dt ≥0 ∀ v ∈V_ad, ZZ

Q

(b(x, t)p(x, t) +λ_u u¯(x, t)) (u(x, t)−u¯(x, t)) dsdt≥ 0 ∀ u∈U_ad.

Man gebe das zugeh¨orige adjungierte System an und zeige, dass es eine eindeutige schwache L¨osung in W(0, T) besitzt.

c) Leiten Sie die notwendigen Bedingungen erster Ordnung f¨ur das obige Optimalsteuerungsproblem mit der formalen Lagrange-Technik her.

Hinweis: Man verwende den Satz: Das in den Nebenbedingungen dieses Op- timalsteuerungsproblems auftretende Anfangs-Randwertproblem besitzt un- ter den getroffenen Voraussetzungen f¨ur jedes Tripel (v, u, y0) ∈ L²(Q) × L²(Σ)×L²(Ω) genau eine schwache L¨osung y ∈ W₂^1,0(Q). Diese geh¨ort dem

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Raum W(0, T) an und erf¨ullt mit einer von (v, u, y₀) unabh¨angigen Konstan- ten c_P die Absch¨atzung

kykW(0,T)≤c_P kvkL²(Q)+kukL²(Σ)+ky₀kL²(Ω)

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Einen (l¨angeren) Beweis, der im Wesentlichen auf die Monographie von O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov und N. N. Ural’ceva:

Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, American Math. Society, Providence, Rhode Island, 1968,

zur¨uckgeht, findet man in Tr¨oltzschs Buch, S. 276ff.

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