Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 2: WS 2006/07)

24. ¨Ubung Vorbemerkung:

Den Abschluss der ¨Ubungen zum Kapitel ¨uber semilineare elliptische Optimal- steuerungsprobleme bildet eine Aufgabe zu einem sehr guten Verfahren, dem SQP-Verfahren (sequential quadratic programming).

1) SQP-Verfahren

In jedem Iterationsschritt des SQP-Verfahrens zur L¨osung eines semilinearen elliptischen Optimalsteuerungsproblems mit verteilter Steuerung,

umin∈Uad

J(y, u) :=

Z

Ω

ϕ x, y(x) dx+

Z

Ω

ψ x, u(x) dx

unter den Nebenbedingungen

−∆y+y+d(x, y) =u in Ω,

∂_νy= 0 auf Γ,

u∈Uad :=

u∈L^∞(Ω) : ua(x)≤u(x)≤ub(x) fast ¨uberall ,

l¨ost man, ausgehend von der aktuellen Iterierten (yn, un, pn), ein linear-quadratisches Optimalsteuerungsproblem der Form

u∈Uminad

J(y, u):=˜ Z

Ω

ϕy(x, yn) (y−yn) +ψu(x, un) (u−un) dx

−1 2

Z

Ω

pndyy(x, yn) (y−yn)²dx

+1 2

Z

Ω

ϕyy(x, yn) (y−yn)² +ψuu(x, un) (u−un)² dx

unter den Nebenbedingungen

−∆y+y+d(x, yn) +dy(x, yn) (y−yn) =u in Ω

∂νy= 0 auf Γ

u∈Uad :=

u∈L^∞(Ω) : ua(x)≤u(x)≤ub(x) fast ¨uberall .

Man leite die adjungierte Gleichung f¨ur das linear-quadratische Teilproblem her. Wie lauten die zugeh¨orige Variationsungleichung, das Minimumprinzip und die Projektionsformel f¨ur das linear-quadratische Teilproblem?

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