Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch Verena Petzet

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 3: SS 2007)

28. ¨Ubung/Projektaufgabe

1) Ein nichtlineares semiinfinites Optimierungsproblem mit Zustandsbeschr¨ankungen als mathematisches Modell f¨ur das Mehrstrahllaserschweißverfahren

Abbildung 1: Illustration des Einstrahllaserschweißverfahrens

Vorbemerkungen: Das Laserstrahlschweißen — siehe Abb. 1 — ist eine mo- derne F¨ugetechnik, die jedoch f¨ur Aluminiumlegierungen nicht unproblema- tisch ist. Gerade solche werden aber zunehmend wegen ihres geringen Gewicht- Stabilit¨atsverh¨altnisses und damit aus Kostengr¨unden bei Leichtbaukonstruk- tionen im Automobil- und Flugzeugbau eingesetzt.

Zur Simulation und Optimierung des Laserstrahlschweißens f¨ur Aluminiumle- gierungen wird im Folgenden ein einfaches mathematisches Modell entwickelt.

Wir betrachten zwei Platten (in den Koordinaten eines ortsfesten (x, y)-Koor- dinatensystems)

Ω1 =

(x, y)∈IR²: l₁ < x < l₂, 0≤y < B , Ω2 =

(x, y)∈IR²: l₁ < x < l₂, −B < y <0 ,

der L¨ange L:=l₂−l₁, der Breite B und der Dicke s, die l¨angs der Stoßkante y = 0 verschweißt werden sollen. Dabei wird ein Laserstrahl mit der konstanten Geschwindigkeit v uber die Stoßkante des Gesamtgebietes Ω = Ω¨ 1 ∪Ω2 = (l₁, l₂)×(−B, B) gef¨uhrt. Der Rand von Ω wird wie ¨ublich mit Γ bezeichnet.

Wir betrachten den sogenannten quasistation¨aren Fall, bei dem der Laser im Ursprung eines beweglichen (x, y)-Koordinatensystems¹ positioniert ist. Dieser Ansatz liefert eine station¨are (elliptische) W¨armeleitungsgleichung mit einem diffusiven und einem konvektiven Transportterm:

−∆T(x, y)− v a

∂T

∂x(x, y)− 1

λ sq₁(x, y) = 0 auf Ω. (1) Die Konstante a = _{c %}^λ > 0 bezeichnet die Temperaturleitf¨ahigkeit mit der W¨armeleitf¨ahigkeit λ > 0, der Materialdichte % > 0 und der spezifischen W¨armekapazit¨at c >0. Die Inhomogenit¨at q₁(x, y) modelliert die sogenannte fl¨achenspezifische W¨armestromdichte, induziert durch den Laser. Diese wird nachfolgend noch zu einem Quellterm q₂(x, y, pI) modifiziert, der dann auch den W¨armeeintrag durch die Zusatzlaser des Mehrstrahlschweißverfahrens bein- haltet; siehe Abb. 5. Dieser Term h¨angt dann nichtlinear und nicht konvex von einem Parametervektor p_I ∈IR⁴,p_I := (p1,. . ., p₄), ab, ist aber bzgl. dieses Pa- rameters hinreichend oft stetig partiell differenzierbar. Der Parametervektorp_I wird einen Teil der Optimierungsvariablen darstellen, deren Bedeutung sp¨ater erl¨autert wird. Wir haben hier also kein Optimalsteuerungsproblem vorliegen, sondern ein finites Optimierungsproblem, allerdings mit (unendlich vielen) Ne- benbedingungen u. a. in Form einer partiellen Gleichung vom Typ (1). Man nennt solche Aufgaben semiinfinite Optimierungsaufgaben.

Als Randbedingungen bieten sich zum einen Dirichletsche Randbedingungen

T =T_amb auf Γ (2)

an. Ihnen liegt die Modellannahme einer perfekten W¨armeleitung in die Ein- spannung zugrunde. Zum anderen sind auch Randbedingungen dritter Art h¨ochst sinnvoll:

∂_νT =−β(T −T_amb) auf Γ. (3)

Hierbei bezeichnet T_amb die Umgebungstemperatur undβ >0 den W¨armeaus- tauschkoeffizienten. Randbedingungen des Typs (3) beschreiben den W¨arme- fluss aus der Platte heraus in die Einspannung bzw. die umgebende Luft. Mit- hilfe einer einfachen Transformation der Form ˆT = T −T_amb ließen sich f¨ur Randbedingungen des Typs (2) homogene Randdaten erreichen. Wir werden im Folgenden jedoch beide Aufgabenstellungen in der obigen Form untersu- chen.

1Von jetzt an ist mit den Koordinaten (x, y) stets das bewegliche Koordinatensystem gemeint.

Abbildung 2: Heißriss

Die Problematik des Laserstrahlschweißens liegt in der Gefahr der Heißrissbil- dung; siehe Abb. 1 und f¨ur ein reales Bild Abb. 2.

Abbildung 3: Dendritisches Kristallwachstum, Entmischung der Schmelze und pla- stische Verformungen k¨onnen Heißrisse entstehen lassen

Heißrisse entstehen gegen Ende des Erstarrungsprozesses. Dabei findet zum einen bei Legierungen eine Entmischung der Schmelze (Seigerung) statt, so- dass die Konzentration an Legierungselementen in der Restschmelze immer mehr zunimmt. Außerdem wird beim Laserstrahlschweißen ein dendritisches, also baumartiges Kristallwachstum beg¨unstigt; siehe Abb. 3, unten. Durch die Seigerung dr¨angt die Kristallisationsfront die mit Legierungselementen an- gereicherte Restschmelze vor sich her. Diese verteilt sich zwischen bzw. vor den Dendriten, und aufgrund der in der Regel hohen Fahrgeschwindigkeit und großen W¨armeeinbringung des Lasers bildet sich ein tropfenf¨ormiges Schmelz- bad aus; siehe Abb. 3, oben. Am Ende des Schweißbades entsteht ein d¨unner

Film, der bis kurz vor Ende des Erstarrungsprozesses fl¨ussig bleibt. Zum ande- ren entstehen aufgrund plastischer Verformungen, d. i. der Anteil der thermi- schen Dehnungen, der sich w¨ahrend der Erstarrung nicht mehr zur¨uckbildet, zus¨atzlich Zugspannungen bzw. Querdehnungen, die aus den komplett erstarr- ten Bereichen durch die Dendriten des Zweiphasengebietes in den mechanisch schwach beanspruchbaren Film der Restschmelze ¨ubertragen werden. F¨ur die F¨ahigkeit der Mikrostruktur, diese Dehnungen zu kompensieren, ist es wich- tig, dass das Nachfließen der Schmelze in kritische Bereiche, wie z.B. in den d¨unnen Film entlang der Hauptschweißlinie, sichergestellt ist. Erst wenn dies nicht mehr gew¨ahrleistet ist, die Spannungen dadurch nicht mehr aufgenom- men werden k¨onnen, ist mit einem Heißriss zu rechnen. Ist also die maximale Dehnung gr¨oßer als die kritische Dehnung, entsteht ein Heißriss; siehe Abb. 3, unten. Dabei charakterisiert der Wert der kritischen Dehnung die F¨ahigkeit des fl¨ussigen Films, die Dehnungen ohne Trennung des Films gerade noch zu kompensieren.

F¨ur ein Modell der Heißrissbildung wird das Material in infinitesimal d¨unne Streifen zerlegt, die sich unabh¨angig voneinander reibungsfrei und nur in y- Richtung ausdehnen k¨onnen; siehe Abb. 4. Dann kann man die maximale Riss¨offnungsverschiebung u_od(xS) durch

u_od(xS) =α ZB

0

(T(xL, y)−T(xS, y)) dy . (4)

modellieren. Sie ist ein Maß f¨ur das Risiko der Heißrissbildung. Diese Gr¨oße ist entweder zu minimieren oder zumindest durch eine Restriktion zu beschr¨anken.

x y T =T_L

T =T_S B

u_od(x)

x_S x x_L

fest-fl¨ussiger Bereich unabh¨angige Streifen

Schweißbad

Einspannung Einspannung

Abbildung 4: Illustration der sogenannten strip expansion-Technik

Abb. 4 zeigt des Weiteren das Schweißbad, begrenzt durch die Isotherme T =T_L mit der Liquidustemperatur T_L, oberhalb der die Aluminiumlegierung fl¨ussig ist, und den fest-fl¨ussigen Bereich zwischen den Isothermen T = T_L und T = T_S mit der Solidustemperatur T_S, unterhalb der die Aluminiumle- gierung vollst¨andig erstarrt ist. In dieser Zone k¨onnen die Heißrisse, wie oben geschildert, entstehen.

Nun kommen wir zur eigentlichen Problemstellung, dem Mehrstrahllaser- schweißverfahren; siehe Abb. 5. Dabei f¨uhrt man hinter dem Hauptlaser zwei Zusatzlaser, die durch ihren W¨armeeintrag der Zugspannung des Hauptla- sers — Abb. 1 — einen Druck — Abb. 5 — entgegensetzen. Position, Gr¨oße und Intensit¨at der Zusatzlaser sind dabei durch Wahl des Parametervektors p_I so zu optimieren, dass das Risiko der Heißrissbildung minimiert oder zumindest begrenzt wird. Es hat sich herausgestellt, dass es numerische Vorteile bringt, die maximale Riss¨offnungsverschiebung zu begrenzen, daf¨ur m¨ussen aber die Abszissenschnittpunkte x_S und x_L der oben genannten Isothermen m¨oglichst genau bestimmt werden. Sie stellen weitere Optimierungsparameter dar, zu- sammengefasst in einem Vektor p_II := (p₅, p₆)∈IR².

Abbildung 5: Illustration des Mehrstrahllaserschweißverfahrens

Ein Austausch zwischen Zielfunktion und Beschr¨ankungen ist eine sehr prak- tische Technik, um zwischen verschiedenen Optimierungskriterien einen Kom- promiss zu formulieren (Skalarisierung eines Pareto-Optimierungsproblems).

Statt also die Riss¨offnungsverschiedung u_od(x_S) zu minimieren, wird sie be- grenzt,

u_od(x_S)≤u^krit_od . (5)

Das neue Zielfunktional soll daf¨ur eine m¨oglichst genau Berechnung der Ach- senabschnittspunkte x_S und x_L der charakteristischen Isothermen T = T_S und T =T_L garantieren. Damit kommen wir zu folgender . . .

Semiinfiniten Optimierungsaufgabe: Zu minimieren ist das Zielfunktional (Punktfunktional)

minJ(T, p) := 1 2

(T(p₆,0)−T_L)² T_L² +1

2

(T(p₅,0)−T_S)²

T_S² (6)

unter den Nebenbedingungen

−∆T(x, y)− v a

∂T

∂x(x, y)− 1

λ sq₂(x, y, p_I) = 0 auf Ω, (7) T =T_amb oder ∂_νT =−β (T −T_amb) auf Γ. (8) Der Quelltermq₂beinhaltet also jetzt auch den W¨armeeintrag durch die beiden Zusatzlaser;q₂ ist nichtlinear, nicht konvex, aber hinreichend oft stetig partiell differenzierbar bzgl. des Parameters p_I.² Wir setzen p:= (pI, p_II).

Zus¨atzlich treten zwei Zustandsbeschr¨ankungen auf:

r ZB

0

T(p6, y)−T(p5, y)

dy−1≤0, (9)

und

(x,y)∈maxD:=D¹∪D²

T(x, y)−T_S ≤0

⇐⇒ T(x, y)−T_S ≤0 ∀(x, y)∈D(pI) :=D₁(pI)∪D₂(pI). (10) Mit der ersten integralen Zustandsrestriktion (9) wird das Risiko der Heiß- rissbildung auf einen von der Legierung abh¨angigen bekannten Wert begrenzt;

vgl. (4), (5) und Abb. 3. Diese Restriktion wird nur auf der Strecke y∈(0, B) wirksam; sie stellt mithin ein Linienfunktional dar. Die zweite Zustandsre- striktion (10) ist vom ˇCebyˇsevschen Typ, kann aber als punktweise Zustands- beschr¨ankung auf einem Teilgebiet D ⊂ Ω umgeschrieben werden und soll verhindern, dass das Material unter den Zusatzlasern aufgeschmolzen wird.³

2Gew¨ohnlich steht der Index 2 f¨ur diefl¨achenspezifische W¨armestromdichte; hier ist also die fachspezifisch korrekte Bezeichnung gegen¨uber (1) wiederhergestellt.

3Die Zustandsbeschr¨ankung (10) k¨onnte unter Ausnutzung der Beziehung zwischen Maximum- und H¨oldernorm

k→∞lim k · kL^2k(D)=k · kL^∞(D)

f¨ur hinreichend großesk, z. B.k= 3 oderk= 4, ebenfalls durch eine integrale Zustandsbe- schr¨ankung approximiert werden:

(x,y)∈D:=Dmax₁∪D₂T(x, y)−TS≈



Z

D

T(x, y)^2kdxdy





21k

−TS≤0

⇐⇒ kTk^2k_L2k(D)≤T_S^2k.

Mit dem Gebiet D ist die Vereinigung der beiden Einflussgebiete D_i, i= 1,2, der beiden Zusatzlaser zusammengefasst; siehe Abb. 6.

T=TL

T=TS

Ω

Abbildung 6: Zur Geometrie des Mehrstrahllaserschweißverfahrens

Diese Abbildung dient nun auch zur Definition der zu optimierenden Para- meter. Die Parameter p₁,. . ., p₃ bezeichnen Position und (kreisf¨ormige) Form der Einflussbereiche D_i der beiden Zusatzlaser. Wir legen eine symmetrische Anordnung zugrunde. Die Intensit¨at p₄ wird als Konstante angenommen; sie k¨onnte bei instation¨arer Modellierung selbstverst¨andlich auch zeitlich steu- erbar angenommen werden. Sie w¨are dann eine nur von der Zeit abh¨angige Steuerung, die ¨uber den Quellterm q₂ linear in die rechte Seite der Differen- tialgleichung (1) einginge. Des Weiteren k¨onnte auch die Geschwindigkeit v, mit der Laser und Zusatzlaser gef¨uhrt werden, als eine Steuerung vom glei- chen Typ angesehen werden. Die beiden Parameter p₅ und p₆ stehen, wie be- reits erw¨ahnt, f¨ur die beiden

”hinteren“ Achsenschnittpunkte der Solidus- bzw.

Liquidus-Isothermen mit der x-Achse.

Die Parameter unterliegen ebenfalls Ungleichungsrestriktionen, die selbster- kl¨arend sind:

p∈P_ad :=

p∈IR⁶ : p₁ ≤0, 0.1≤p₃ ≤p₂, 0≤p₄ ≤q , p₅ ≤0, p₆ ≤0, p₂+p₃ ≤B , p₅ ≤p₁+p₃, p₁−p₃ ≤p₆ .

(11)

F¨ur gegebenes p_I schreiben wir auchp_II ∈P_ad(p_I) und umgekehrt bei gegebe- nem p_II auch p_I ∈P_ad(p_II).

Dabei ist jedoch zu beachten, dass damit i. Allg. eine Relaxierung einhergeht, da

∪_{n≥1, n∈}INLⁿ(D)6=L^∞(D) gilt.

Bemerkung: Neben dem punktf¨ormigen Zielfunktional (6) und der lini- enf¨ormigen integralen Zustandsbeschr¨ankung (9) liegt die Besonderheit dieser semiinfiniten Optimierungsaufgabe darin, dass im Zielfunktional und in der Zu- standsbeschr¨ankung der Zustand T an den Optimierungsvariablen p_II ausge- wertet wird. Die Optimierungsvariablenp_II k¨onnen als

”zus¨atzliche Zust¨ande“

und die Optimierungsparameter p_I als

”konstante Steuerungen“ interpretiert werden. Dieser Umstand wird uns dazu bringen, nur klassische L¨osungen T ∈C²( ¯Ω) f¨ur diese Aufgabenstellung als sinnvoll anzusehen.

a) Man transformiere zun¨achst die partielle Differentialgleichung (7) auf Normalform. Wie transformieren sich die Randbedingungen (8)? Wie transformieren sich die Zustandsbeschr¨ankungen (9) und (10)? Wie transformiert sich das Zielfunktional (6)?

Hinweis: Man w¨ahle in dem Ansatz T(x, y) =Te(x, y)e^c1x+c2y

die Konstantenc₁ undc₂so, dass die transformierte Differentialgleichung keine Terme mit Ableitungen erster Ordnung mehr besitzt.

b) Was l¨asst sich ¨uber die Existenz schwacher L¨osungen der Randwertpro- bleme (7), (8) sagen? Man diskutiere in diesem Zusammenhang insbe- sondere die Randbedingung dritter Art. F¨ur welche Systemparameter (Konstanten im Problem) existiert ¨uberhaupt eine L¨osung? Ist diese un- ter den hier gegebenen Voraussetzungen stetig?

c) Unter welchen Voraussetzungen an q₂ und T ist die Funktion f: IR⁶ → IR, definiert durch f(p) := J(S(p_I), p_II) mit dem Parameter- Zustandsoperator S: IR⁴ → H¹(Ω)∩C( ¯Ω), S: p_I 7→ T, stetig differen- zierbar bzgl. p?

d) Man diskutiere die resultierenden Optimalsteuerungsprobleme als Opti- mierungsprobleme vom Typ minp∈Padf(p) im Banachraum. Insbesonde- re diskutiere man die Regularit¨atsbedingungen der Vorlesung, um eine Aussage ¨uber die Existenz von Lagrangeparametern zu erhalten. Gelingt dies?

Hinweis: Man lasse notfalls auch klassische L¨osungen T ∈C²( ¯Ω) zu.

e) Man gebe notwendige Bedingungen f¨ur eine lokal optimale L¨osung des re- sultierenden Optimierungsproblems mit Dirichlet-Randbedingungen an.

f ) Man gebe notwendige Bedingungen f¨ur eine lokal optimale L¨osung des resultierenden Optimierungsproblems mit Robin-Randbedingungen an.

Hinweis zu e) und f ): Man schreibe das (transformierte) Punktfunktio- nal (6) mithilfe von Diracschen Delta-Distributionen um. Wie bezieht man die (transformierte) Zustandsbeschr¨ankung (10) ein?

g) Man stelle die notwendigen Bedingungen f¨ur die Aufgabe mit der Rand- bedingung dritter Art ohne Einbeziehung der Zustandsbeschr¨ankun- gen (9) und (10) schließlich auch noch mithilfe des Pontrjaginschen Ma- ximumprinzips auf.

h) Wie lautet der Gradient f⁰(p) des Zielfunktionals? (Zustandsbe- schr¨ankungen k¨onnen unber¨ucksichtigt bleiben.) Welche Voraussetzun- gen an T sind zu stellen?

i) Man diskutiere die hinreichende Optimalit¨atsbedingung f¨ur lokale Op- timalit¨at f¨ur das Optimierungsproblem mit der Randbedingung dritter Art ohne Einbeziehung der Zustandsbeschr¨ankungen (9) und (10). Wel- che Voraussetzungen an T sind zu stellen?