Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 2: WS 2009/10) 14. ¨Ubung

Vorbemerkung:

In diesem ¨Ubungsblatt besch¨aftigen wir uns mit einigen Eigenschaften abstrak- ter Funktion, die auf kompakten Intervallen definiert sind, also mit Abbildun- gen y: [a, b] → Z, wobei [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall reeller Zahlen und Z ein Banachraum ist. Insbesondere besch¨aftigen wir uns mit Normen, Stetigkeit, Integralen und Funktionalen dieser Funktionen.

1) Normen abstrakter Funktionen.

Man zeige: Die Funktion y(x, t) = e^t

√x

geh¨ort dem Raum C([0, T], L¹(0,1)) an. Berechnen Sie ihre Norm in diesem Raum. In welchen R¨aumen L^p(0, T;L^q(0,1)) liegt die Funktion?

2) Eine Absch¨atzung f¨ur das Riemann-Integral ¨uber einer abstrakten Funktion.

Es sei y∈C([0, T], Z), [0, T]⊂R, Z Banachraum.

Man zeige:

a) Wie f¨ur reellwertige Funktionen gilt f¨ur das Riemannintegral einer steti- gen abstrakten Funktion auch:

T

Z

0

y(t) dt Z

≤

T

Z

0

y(t) Zdt .

b) Durch das stetige lineare Funktional F auf Z^∗ F: Z^∗ →R

z^∗ 7→

T

Z

0

hz^∗, y(t)i^{Z∗, Z} dt

wird eindeutig ein Element z ∈Z definiert, wobei gilt z =RT

0 y(t) dt.

3) Stetigkeit abstrakter Funktionen.

a) Es sei {Z,k · k^Z} ein Banachraum,y∈C([0, T], Z), [0, T]⊂ R, eine fest vorgegebene stetige, abstrakte Funktion undF_[t](z^∗) :=hz^∗, y(t)i^{Z∗, Z} f¨ur jedes t∈[0, T] ein lineares Funktional auf dem DualraumZ^∗ von Z. Man zeige, dass f¨ur alle z^∗ ∈ Z^∗ die reellwertigen Funktionen F_[z∗](t) = hz^∗, y(t)i^{Z∗, Z} stetige Funktionen in t sind, falls y∈C([0, T], Z), . . . b) . . . aber nicht umgekehrt. Dazu das Gegenbeispiel:

Es sei jetzt {H,(·,·)H}ein separabler Hilbertraum mit der vollst¨andigen Orthonormalbasis e₁, e₂,. . ., e_n,. . . bzgl. des Skalarproduktes (·,·). Wir definieren Funktionen y(t) : [0,1]→H folgendermaßen:

y(0) = 0,

y(t) = (1−τ)e_n+1+τ e_n f¨ur t=τ 1

n + (1−τ) 1 n+ 1, wobei 0≤τ ≤1.

Man zeige, dass die reellwertigen Funktionen

F_[z∗](t) := (z^∗, y(t))_H , z^∗ ∈H^∗ ∼=H (Riesz),

f¨ur alle z^∗ stetig auf [0, T] sind, aber die Funktion y: [0,1] → H nur stetig auf dem halboffenen Intervall (0, T] ist, nicht jedoch int = 0.

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Hinweis:Ein metrischer Raum, also eine nichtleere Menge, auf der eine Metrik definiert ist, heißt separabel, wenn es eine h¨ochstens abz¨ahlbare Menge gibt, die dicht in ihm liegt. Dann lehrt die Funktionalanalysis, dass jeder separable Pr¨ahilbertraum H 6={0} eine h¨ochstens abz¨ahlbare Orthonormalbasis besitzt (Satz 24.2, H. Heuser, Funktionalanalysis, Teubner, Stuttgart, 1992, S. 177).

Beispiele f¨ur separable Hilbertr¨aume sind u. a. der L^p(Ω) mit Ω⊂Rⁿ, Ω offen und beschr¨ankt, und die Folgenr¨aume l^p :={(x_n)n∈N, x_n∈K,K=RoderC: P∞

n=1|x_n|^p < ∞} jeweils nur f¨ur 1 ≤ p < ∞. Ferner lehrt die Funktional- analysis, dass jeder unendlichdimensionale separable Hilbertraum norm- isomorph zu l² ist (Satz 25.2, Heuser, S. 182). Insbesondere gilt dann die Parsevalsche Gleichung

kzk²H =

∞

X

i=1

|(z, ei)|² =

∞

X

i=1

ξ_i²,

wenn z =P^∞

i=1ξ_ie_i die Basisdarstellung von z ∈H ist.

4) Funktionale mit abstrakten Funktionen.

Es sei H = L²(Ω) der dieser Aufgabe zugrundeliegende Hilbertraum mit Skalarprodukt (·,·)H und Ω ∈ R^N ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Γ. Mit dem Zeitintervall (0, T), T > 0, wird mit Q := Ω × (0, T) ein Raum-Zeit-Zylinder mit Rand Σ := Γ × (0, T) definiert. Ferner seien c₀ ∈ L^∞(Q), f ∈ L²(Q) und g ∈ L²(Σ) mit den entsprechenden abstrakten Funktionen c₀(t),f(t) und g(t).

Man untersuche f¨ur alle festen t∈[0, T] die folgenden FunktionaleG_j(t)∈V^∗, j = 1,2,3:

G₁(t) : v 7→(c₀(t)y(t), v)_H , G₂(t) : v 7→(f(t), v)_H , G₃(t) : v 7→(g(t), v)_L2(Γ) .

Hierbei ist stets v(x, t) := v(x)ϕ(t) mit v ∈ V = H¹(Ω) und ϕ ∈ C₀^∞(0, T) und y∈W₂^1,2(Q)∼=L²(0, T;H¹(Ω)).¹

1Die Normen in W₂^1,2(Q) und L² 0, T;H¹(Q)

sind identisch; siehe Vorlesung. Aber es sind auch die R¨aume zueinander isomorph, da jede Funktiony∈W₂^1,2(Q) durch Ab¨anderung auf einer Menge vom Maß Null zu einer Funktion ausL² 0, T;H¹(Ω)

wird; siehe Einar Hille, Ralph S. Phillips: Functional Analysis and Semigroups. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXI, Providence, Rhode Island, 1957.

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Insbesondere zeige man, dass alle Funktionale linear und stetig sind und dass kG₁(t)k^V∗ ≤cky(t)k^H1(Ω),

kG₂(t)k^V∗ ≤ckf(t)k^L2(Ω), kG₃(t)k^V∗ ≤ckg(t)kL²(Γ)

mit einer gewissen Konstante cgilt. Ferner zeige man, dassG_j ∈L²(0, T;V^∗), j = 1,2,3, gilt.

Bemerkung:Die hier zu zeigenden Eigenschaften der FunktionaleG_j(t) f¨ullen eine kleine Beweisl¨ucke im Satz 3.12 der Vorlesung;² sie heißen dort F₂, F₄ und F₅.

2gleiche Ziffer wie im Buch von F. Tr¨oltzsch.

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