Prof. Dr. H. J. Pesch
Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations
(Teil 1: SS 2008)
5. ¨Ubung 1) Differentialoperatoren in Divergenzform
Die in der Vorlesung und in ¨Ubung 4, Aufgabe 3 betrachteten Randwert- probleme sind Spezialf¨alle der Aufgabenstellung
Ay+c0y=f in Ω,
∂νAy+α y=g auf Γ1, y= 0 auf Γ0,
in der A ein elliptischer Differentialoperator der folgenden Form ist:
Ay(x) =−
N
X
i,j=1
Di
aij(x)Djy(x) .
Die Koeffizientenfunktionen aij von A sollen aus L∞(Ω) sein, der Sym- metriebedingung aij(x) = aji(x) in Ω gen¨ugen sowie mit einem α0 > 0 die Bedingung der gleichm¨aßigen Elliptizit¨at
N
X
i,j=1
aij(x)ξiξj ≥α0|ξ|2
f¨ur alle Vektoren ξ∈IRN und allex∈Ω erf¨ullen. Mit ∂νA bezeichnen wir in diesem allgemeineren Fall die Ableitung in Richtung der Konormalen νA, definiert durch
(νA)i(x) =
N
X
j=1
aij(x)νj.
Fassen wir die Koeffizientenaij zu einer MatrixAzusammen, so giltνA = A ν.
Der Rand Γ ist durch Γ = Γ0∪Γ1 in zwei disjunkte messbare Teilmen- gen Γ0 und Γ1 aufgeteilt, wobei eine der beiden Teilmengen leer sein kann. F¨ur die in der Aufgabenstellung auftretenden Funktionen gelte:
c0 ∈L∞(Ω), f ∈L2(Ω), α∈L∞(Γ1) und g ∈L2(Γ1).
a) Man leite eine Variationsformulierung f¨ur diese Aufgabe her. Was ist der ad¨aquate FunktionenraumV f¨ur die schwache L¨osungy? Wie definiert man Bilinear- und Linearform, die die schwache L¨osung y eindeutig bestimmen?
Hinweis: Man verwende f¨ur die partielle Integration die Greensche Formel
Z
Ω
u1∆u2+∇u1· ∇u2dx= Z
∂Ω
u1ν· ∇u2ds .
Hierbei sind ui: IRN ⊃ Ω → IR, i = 1,2, Skalarfelder und ν ∈ IRN bezeichne wie ¨ublich den ¨außeren Normalenvektor im Punkte x.
Man w¨ahle u1 =v. Wie w¨ahlt man dann ∇u2?
b) Es sei Ω ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet. Fast ¨uberall auf Ω bzw.
auf Γ1 geltec0(x)≥0 bzw.α(x)≥0 und eine der beiden folgenden Bedingungen
|Γ0|>0, Γ1 = Γ und
Z
Ω
c20(x) dx+ Z
Γ
α2(x) ds >0.
Dann besitzt die obige Randwertaufgabe f¨ur alle Paare (f, g) ∈ L2(Ω) × L2(Γ1) genau eine schwache L¨osung y ∈ V. Außerdem existiert genau eine von f undg unabh¨angige Konstante cA>0, so dass gilt
kykH1(Ω) ≤cA kfkL2(Ω)+kgkL2(Γ1)
∀f ∈L2(Ω),∀g ∈L2(Γ1).
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