Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 1: SS 2008) 4. ¨Ubung Vorbemerkung:

Eine etwas versteckte Schwierigkeit besteht in der Definition von Randwerten f¨ur Funktionen aus Sobolewr¨aumen. Was soll z. B. bei einer Funktion y ∈ W^k,p(Ω) die Aussage y = 0 auf Γ = ∂Ω bedeuten? Ist n¨amlich y ∈L^p(Ω), so kann man die Randwerte von y auf Γ beliebig ab¨andern, ohne dass sich y im Sinne des Raumes L^p(Ω) ¨andert, denn Γ ist als Teilmenge des IR^N vom Maße Null. Funktionen, die sich nur auf Mengen vom Maß Null unterscheiden, sind aber gleich im Sinne von L^p(Ω), d. h. geh¨oren der gleichen ¨Aquivalenzklasse an. Dieses Problem wird in der ersten Aufgabe n¨aher untersucht und f¨uhrt auf den Spuroperator und den Spursatz, zu dem wir schrittweise einen Beweis f¨ur einen Spezialfall erbringen werden.

Mithilfe des Spursatzes und den nachfolgenden Aufgaben kann man dann die Resultate aus der Vorlesung hinsichtlich Existenz und Eindeutigkeit schwacher L¨osungen auf allgemeinere elliptische Randwertaufgaben erweitern.

Der Spursatz hat ¨ubrigens Auswirkungen bei der Konstruktion von Zelten. An- statt an der Spitze eines Mastes h¨angt man das Zelt am Rande eines ”Tellers“

auf, zum Beispiel bei der Jurte. Eine andere M¨oglichkeit besteht darin, das Zelt zur Vermeidung extremer Spannungen an der Spitze mit einer Leine in Form einer Schlaufe zu versehen. Dadurch wird vermieden, dass die Aufh¨angung nicht an einem Punkt, sondern an der vom

”Tellerrand“ oder von der Schlaufe gebildeten Linie wirksam wird. Dass dies sinnvoll ist, liegt letzten Endes am Spursatz (Theorem 2.1 in § 2.2.3): Die Auswertung einer H¹-Funktion an ei- nem Punkt macht keinen Sinn, die Auswertung im L²-Sinne l¨angs einer Linie wird jedoch fast ¨uberall respektiert.

1) Spursatz (Spezialfall) a) (Vor¨uberlegungen)

Es sei Ω∈IR^N ein beschr¨anktes Lipschitzgebiet.

Man zeige: Die Aussage, es gibt eine Konstante c_τ(Ω)>0 derart, dass kuk_L^p_(Γ) ≤c_τkuk_L^p_(Ω) f¨ur alle u∈C⁰( ¯Ω).

ist falsch.

Hinweis: Man konstruiere ein Gegenbeispiel f¨ur Ω ∈IR², indem man eine auf ¯Ω stetige Funktion angebe, die auf Γ konstant, aber ungleich null ist, und im Innern gr¨oßtenteils null ist. Die Flanken zum Rand des Gebietes sollen dabei wie ¹_ε, ε >0, ansteigen.

b) (Spursatz, Spezialfall)

Es sei Ω⊂IR² ein beschr¨anktes Lipschitzgebiet.

Man zeige: Dann gibt es eine beschr¨ankte, lineare und damit stetige Abbildung

τ: H¹(Ω) →L²(Γ) mit τ(u) = u|Γ

und kτ(u)kL²(Γ)≤c_τkukH¹(Ω) ∀u∈C¹( ¯Ω). Hinweise: Den nicht einfachen Beweis wollen wir uns schrittweise erar- beiten:

1. Schritt: Da Ω ein Lipschitzgebiet im IR² ist, gibt es gem¨aß Definition endlich viele Randst¨ucke Γ1,Γ2,. . .,ΓM mit geeigneten Parametrisierun- gen h_i ∈ C^0,1 sowie positiven Konstanten a, b, so dass nach geeigneten lokalen Koordinatentransformationen die Gebiete

Ωi ={(x, y)∈IR²: h_i(y)< x < h_i(y) +b , |y|< a}

in Ω enthalten sind und mit Ω in Γiein gemeinsames Randst¨uck haben — das sind die Teilgebiete Ωi von Ω, die an Γi angrenzen; vgl. Definition

”Lipschitzgebiet“ bzw.

”Regul¨ares Gebiet“ in Kapitel 2.2.2.

2. Schritt: Man w¨ahle u ∈ C¹( ¯Ω) und (x, y) ∈ Γ beliebig. Dann gilt mit 0≤t ≤b:

u(x, y) = u(h_i(y), y) =u(h_i(y) +t, y)−

t

Z

0

u_x(h_i(y) +s, y) ds , wobei u_x die partielle Ableitung von u nach der ersten Komponente be- zeichnet. Man zeige durch Integration ¨uber t, 0< t < b:

b u(h_i(y), y) =

b

Z

u(h_i(y) +t, y) dt−

b

Z

u_x(h_i(y) +s, y) (b−s) ds .

3. Schritt: Man quadriere diese Gleichung und zeige durch Absch¨atzun- gen mit der Youngschen Ungleichung, d. i. (a+b)² ≤ 2a² + 2b², sowie der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

b²u²(h_i(y), y)≤2·b





b

Z

0

u²(h_i(y) +t, y) dt





+2 3·b³



 Zb

0

u²_x(hi(y) +s, y) ds





gilt.

4. Schritt: Division durchb², anschließende Integration ¨ubery,−a ≤y≤ +a, und Variablensubstitutionenx=h_i(y) +tbzw.x=h_i(y) +s) liefert:

+a

Z

−a

u²(h_i(y), y) dy≤ 2 b

Z

Ωi

u²(x, y) dxdy+2 3b

Z

Ωi

u²_x(x, y) dsdy .

5. Schritt: Man forme die linke Seite in ein Kurvenintegral l¨angs Γi um und sch¨atze dieses nach unten ab. Insgesamt erh¨alt man damit

Z

Γi

u²(hi(y), y) ds≤c_i 2

b ku²kL²(Ωi)+2

3bku²_xkL²(Ωi)

mit

c_i := max

−a≤y≤a{p

1 +h^′_i(y)}.

6. Schritt: Summation ¨uber alle Kurvenst¨ucke Γi mit ∪^M_i=1Γi = Γ und den zugeh¨origen Gebieten Ωi mit ∪^M_i=1Ω_i ⊂Ω liefert:

ku²k²_L²_(Γ) ≤c²kuk²_H¹_(Ω) mit

c² := max{

M

X

i=1

c_i2 b ,

M

X

i=1

c_i 2 3b}.

7. Schritt: Damit ist die Restriktion τ: H¹(Ω) ∩ C¹( ¯Ω) → L²(Γ) mit τ(u) =u|Γ auf einer dichten Menge von H¹(Ω) eine beschr¨ankte, lineare Abbildung. Wie folgt daraus nun die Behauptung?

Bemerkungen:

1. Hinweise zum Beweis des allgemeinen Spursatzes werden bei der Aufga- benbesprechung gegeben.

2. F¨ur beschr¨ankte Lipschitzgebiete Ω folgt daher H₀¹(Ω) ={y∈H¹(Ω) : y|Γ = 0}.

Man kann in H₀¹(Ω) durch kyk_H0¹_(Ω) :=

Z

Ω

|∇y|²dx

eine Norm einf¨uhren, die zur k · kH¹(Ω) ¨aquivalent ist:

c₁kyk_H0¹_(Ω)≤ kykH¹(Ω) ≤c₂kyk_H0¹_(Ω) mit c₁ >0 undc₂ >0. Dies kann mit der Friedrichs-Ungleichung — ¨Ubung 2, Aufgabe 1c — bewiesen werden.

3. Die Spurabbildung τ generiert mit Hilfe der zugrundgelegten Funktio- nenr¨aume ¨uber der Menge Ω neue Funktionenr¨aume ¨uber dem Rand Γ =

∂Ω:

H^1/2(Γ) :={w∈L²(Γ) : es existert einv ∈H¹(Ω) mit w=τ v}. Als Norm eignet sich dabei

kwk_H^1/2_(Γ) = inf{kvkH¹(Ω): v ∈H¹(Ω) mit w=τ v}.

4. Der Spursatz impliziert mit der Definition der R¨aumeW₀^k,p(Ω) =C₀^∞(Ω) auch

τ u= 0 f¨ur alle u∈W₀^1,p(Ω),

τ D^αu= 0 f¨ur alle u∈W₀^k,p(Ω), |α| ≤k−1.

5. Ist Ω ein beschr¨anktes Gebiet, dann gibt es eine Konstantec=c(Ω)>0 derart, dass

kvk_L²_(Ω) ≤c|v|_W^1,2_(Ω)=c|v|_H¹_(Ω) f¨ur alle v ∈H₀¹(Ω).

Diese Gleichung ist im wesentlichen der zweite Teil der Ungleichung von Friedrichs; vgl. ¨Ubung 2, Aufgabe 1; die linke Seite dieser Ungleichung ist offensichtlich kleiner als die linke Seite der rechten Ungleichung der Friedrichsschen Ungleichung.

2) Verallgemeinerte Poincar´e-Friedrichs’sche Ungleichungen

Von den verschiedenen Varianten der Poincar´e-Friedrichs-Ungleichung soll hier eine bewiesen werden.

Man zeige: Ist Ω ⊂ IR^N ein beschr¨anktes Lipschitzgebiet und Γ1 ⊂ Γ eine messbare Menge mit |Γ₁| > 0, so existiert eine von y ∈ H¹(Ω) unabh¨angige Konstante c(Γ1), so dass f¨ur alle y∈H¹(Ω) gilt:

||y||²_H¹_(Ω) ≤c(Γ1)



 Z

Ω

|∇y|²dx+ Z

Γ¹

y²ds



 .

Erl¨auterungen:Zum Beweis ben¨otigt man die fundamentalen Einbet- tungss¨atze von Sobolewr¨aumen, speziell den Satz:

H¹ ֒→H⁰, lies: H¹ ist stetig und kompakt eingebettet in H⁰, siehe z. B. Alt, H. W.: Lineare Funktionalanalysis, 4. Auflage, Berlin:

Springer, 2002, S. 312ff.

Einbettungss¨atze dieser Art werden im ersten Vortrag des Begleitsemi- nars n¨aher erl¨autert. Die Sobolewr¨aume bilden n¨amlich eine Inklusions- skala:

L₂(Ω) = H⁰(Ω) ⊃ H¹(Ω) ⊃ H²(Ω) ⊃ . . .

k ∪ ∪

H₀⁰(Ω) ⊃ H₀¹Ω) ⊃ H₀²(Ω) ⊃ . . . Zur Erl¨auterung der obigen Begriffe zun¨achst drei Definitionen:

Definition 1: Es seienXundY Banachr¨aume mitX ⊂Y. Offenbar ist die mit I bezeichnete Inkusion I: x ∈ X → x ∈ Y eine lineare Abbildung.

Wenn sie beschr¨ankt (¨aquivalent mit stetig bei linearen Abbildungen) ist, d. h. wenn

I ∈ L(X, Y) oder kxkY ≤CkxkX f¨ur alle x∈X ,

nennt man X stetig eingebettet in Y. Offensichtlich ist wegen der ¨Aqui- valenz der Normen H¹(Ω) stetig inH⁰(Ω) eingebettet.

Definition 2: Eine Teilmenge K eines Banachraumes heißt pr¨akompakt (bzw. kompakt), wenn jede Folge {xi}_i∈IN eine konvergente Teilfolge {x_ik}_k∈IN enth¨alt (und limk→∞x_ik ∈K).

Definition 3: Es seien X und Y Banachr¨aume. Die Abbildung T ∈ L(X, Y) heißt kompakt, wenn {T x: x ∈ X , kxkX ≤ 1} (Bild der Ein- heitskugel in X) pr¨akompakt in Y ist.

Hinweise: Man beweist die Ungleichung am besten indirekt. Nehmen Sie dazu eine Folge {yn}_n∈IN,y_n∈H¹(Ω), mit kynkH¹(Ω) = 1 an, so dass die Ungleichung verletzt ist, also z. B.

1 = ky_nk²_H¹_(Ω) > n



 Z

Ω

|∇y|²dx+ Z

Γ1

y²ds



.

Zeigen Sie dann, dass

∇yn→0 in L²(Ω),

∃{y_nk}_k∈IN →y in H⁰(Ω),

∃{yn_k}_k∈IN →y in H¹(Ω),

∇y≡0 und y≡const,

y≡0 (Spursatz verwenden!).

Bemerkung: Die Friedrichs-Ungleichung ( ¨Ubung 2, Aufgabe 1c) ergibt sich als Spezialfall mit Γ1 := Γ und Funktionen y∈H₀¹(Ω).

Eine ¨ahnliche Beziehung gilt in Teilmengen von Ω: IstE ⊂Ω eine Menge von positivem Maß, dann existiert eine von y ∈ H¹(Ω) unabh¨angige Konstante c_E, so dass die Ungleichung

||y||²_H¹_(Ω) ≤c_E



 Z

Ω

|∇y|²dx+ Z

E

y²dx





f¨ur alle y ∈ H¹(Ω) erf¨ullt ist; siehe Gajewski, H., Gr¨oger, K., Zacha- rias, K.: Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialglei- chungen, Berlin: Akademie-Verlag, 1974. Dort findet man allerdings kei- nen Beweis. Die Gleichung l¨asst sich auch auf allgemeinere Sobolew- r¨aume H^m(Ω) verallgemeinern; siehe Wloka, J.: Partielle Differential- gleichungen, Stuttgart: Teubner, 1982, Satz 7.7, S. 121. Einen direkten Beweis findet man bei Weiying Zheng und He Qi: On Friedrichs-Poincar´e- type inequalities, J. of Math. Anal. Appl. 304 (2005) 542–551.

3) Schwache Formulierungen bei elliptischen Randwertproblemen mit Randbedingungen dritter Art

Wir betrachten die Randwertaufgabe

−∆y+c₀y=f in Ω,

∂_νy+α y=g auf Γ

mit gegebenen Funktionen f ∈ L²(Ω) und g ∈L²(Γ) sowie nichtnegati- ven Koeffizientenfunktionen c₀ ∈L^∞(Ω) und α∈L^∞(Γ).

Man leite eine Variationsformulierung f¨ur diese Aufgabe her.

Bemerkung:Randbedingungen 3. Art werden auch Robin- oder Cauchy- Bedingungen genannt.

4) Existenz und Eindeutigkeit schwacher L¨osungen f¨ur ellipitische Randwertaufgaben dritter Art

a) Es seien ein beschr¨anktes Lipschitzgebiet Ω sowie fast ¨uberall nichtnega- tive Funktionen c₀ ∈L^∞(Ω) und α ∈L^∞(Γ) vorgegeben mit

Z

Ω

c₀(x)²dx+ Z

Γ

α(x)²ds >0.

Dann besitzt die Randwertaufgabe dritter Art f¨ur jedes Paar f ∈L²(Ω), g ∈L²(Γ) genau eine schwache L¨osung y∈H¹(Ω).

b) Ferner existiert eine von f und g unabh¨angige Konstantec_R, so dass die folgende Ungleichung gilt:

||y||_H¹_(Ω) ≤c_R ||f||_L²_(Ω)+||g||_L²_(Γ) .

Hinweis: Man verwende Aufgabe 3, das Lemma von Lax-Milgram, der Spursatz und die verallgemeinerten Poincar´e-Friedrichs-Ungleichungen.

Abgabe: L¨osungsvorschl¨age zu den Aufgaben werden vorgerechnet oder aus- geteilt.