Prof. Dr. H. J. Pesch
Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations
(Teil 2: WS 2006/07)
18. ¨Ubung Vorbemerkung:
Mit diesem ¨Ubungsblatt wenden wir uns wieder elliptischen Optimalsteue- rungsproblemen zu, zun¨achst noch einmal den linear-quadratischen, jedoch aus einem anderen Blickwinkel. Wir betrachten hierbei die Nebenbedingung als eine Gleichung im Dualraum V∗ := (H1(Ω))∗.
1) Elliptische Gleichungen mit Daten aus V∗.
Alle bisher behandelten elliptischen Randwertprobleme wurden mit der Theo- rie schwacher L¨osungen auf die allgemeine Form
a[y, v] =F(v)
gebracht, in der a:V ×V →IR eine stetige, koerzive Bilinearform und F ein Funktional aus V∗ ist.
Wir betrachten die Bilinearform jetzt aus etwas anderer Sicht. F¨ur fest vor- gegebenes y ∈ V und variables v ∈ V ist die Abbildung V → IR verm¨oge v 7→a[y, v] linear und stetig und somit ein von y abh¨angiges Element aus V∗. Wir nennen es A y. Der OperatorA: V →V∗ verm¨oge y7→A y ist offensicht- lich auch linear.
a) Man zeige: A ist stetig.
b) Man zeige: Die Gleichung A y = F hat f¨ur jedes F ∈ V∗ genau eine L¨osung, und es gilt
kykV ≤cakFkV∗.
Man zeige, der inverse Operator A−1: V∗ →V existiert und ist stetig.
c) Wie lautet f¨ur das Optimalsteuerungsproblem der optimalen station¨aren Randtemperatur
umin∈Uad
J(y, u) := 1
2ky−yΩk2L2(Ω)+ λ
2 kuk2L2(Γ) unter den Nebenbedingungen
−∆y= 0 in Ω,
∂νy+α y =u auf Γ,
u∈Uad :={u∈L2(Γ) : |u| ≤1},
die A y=F entsprechende Gleichung in V∗ = (H1(Ω))∗?
Man zeige, dass man diese Gleichung auch schreiben kann als A y =B u mit einem geeignetem Operator B.
d) Man zeige: F¨ur die optimale L¨osung (¯y,u¯) des obigen Optimalsteuerungs- problems gilt
(B∗S∗(¯y−yΩ) +λu, u¯ −u¯))L2(Γ)≥0 ∀u∈Uad
mit einem geeignet definierten L¨osungsoperator S: V∗ → L2(Ω) der Randwertaufgabe.
e) Man zeige: Der adjungierte Zustand p:=S∗(¯y−yΩ) l¨ost die Gleichung A∗p=EV∗ (¯y−yΩ),
wobei EV den Einbettungsoperator von V nach L2(Ω) bezeichnet. Der adjungierte Zustand p ist ¨uberdies L¨osung des Randwertproblems
−∆p= ¯y−yΩ in Ω,
∂νp+α p= 0 auf Γ. f ) Man zeige:
(τ p+λu, u¯ −u¯)L2(Γ)≥0 ∀u ∈Uad.
Hierbei bezeichnet τ den Spuroperator von V nach L2(Γ).
g) Man zeige: Mit der Lagrangefunktion L: V ×U ×V∗∗ → IR, definiert verm¨oge
L(y, u, z∗) =J(y, u) + (z∗, B u−A y)V∗∗, V∗ , muss f¨ur ein Minimum von L in (¯y,u) gelten:¯
D(y,u)L(¯y,u, p¯ ) (y−y, u¯ −u¯)≥0.
Man leite daraus eine Bestimmungsgleichung f¨ur p und eine Variations- ungleichung f¨ur u her.
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h) Man schreibe die semilineare elliptische Gleichung
−∆y+y+yk =u , k = 3, 5, in Ω⊂IRN, N = 2, 3,
∂νy= 0 auf Γ =∂Ω
mithilfe eines geeigneten Nemyzki-Operators um in eine Gleichung inV∗ des Typs
A y+BΦ(y) = B u
und gebe f¨ur den Nemyzki-Operator Φ Urbild und Bildraum an.
Hinweis: Man unterscheide die F¨alle N = 2 und N = 3 und verwende hierbei den Einbettungssatz f¨ur Sobolewr¨aume:
Einbettungssatz: Es sei Ω ⊂ IRN ein beschr¨anktes Gebiet mit Lipschitz- Rand. Es sei 1 < p < ∞ sowie m ≥ 0 eine ganze Zahl. Dann sind die folgenden Einbettungen definiert und stetig:
bei m p < N: Wm, p ,→Lq(Ω), ∀ 1≤q ≤ N p N −m p, bei m p=N: Wm, p ,→Lq(Ω), ∀ 1≤q <∞,
bei m p > N: Wm, p ,→C( ¯Ω).
Siehe: R. A. Adams: Sobolev Spaces. Boston: Academic Press, 1978, Satz 5.4, S. 97ff.
2) Und zu guter Letzt: Taylorformel mit integralem Restglied.
Man zeige, f¨ur jede reellwertigeC1-Funktionf ¨uber einem kompakten Intervall gilt
f(x+h) =f(x) +f0(x)h+R(x, h) mit Restglied
R(x, h) =h
1
Z
0
f0(x+s h)−f0(x) ds .
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