Prof. Dr. H. J. Pesch
Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations
(Teil 3: SS 2007)
25. ¨Ubung Vorbemerkung:
In diesem Blatt behandeln wir semilineare parabolische Optimalsteuerungspro- bleme, insbesondere die Herleitung notwendiger Bedingungen erster Ordnung.
1) Instation¨are Supraleitung Zu minimieren sei das Zielfunktional
minJ(y, v) := 1
2ky(·, T)−yΩk2L2(Ω)+ 1
2ky−yΣk2L2(Σ)+ λ
2kvk2L2(Q)
unter den Nebenbedingungen
yt−∆y+y3=v in Q ,
∂νy+β(x, t)y= 0 in Σ,
y(·,0) =y0 in Ω,
v ∈Vad :=
v ∈L∞(Q) : −1≤v(x, t)≤+1 fast ¨uberall . a) Unter welchen (minimalen) Voraussetzungen existiert f¨ur jedes Paar
(v, y0) eine L¨osung y ∈ W(0, T) ∩C( ¯Q) des semilinearen Randwert- problems?
b) Unter welchen (minimalen) Voraussetzungen existiert mindestens eine (global) optimale Steuerung ¯v?
c) Wie lautet die adjungierte Gleichung? Unter welchen Voraussetzungen ist der adjungierte Zustand stetig?
d) Man gebe notwendige Bedingungen (Variationsungleichung, Projektions- formel, etc.) f¨ur die F¨alle λ > 0 und λ = 0 an. Welchem Raum geh¨ort die optimale Steuerung ¯v an?
2) W¨armeleitungsgleichung mit Stefan-Boltzmann-Randbedingung
Zu minimieren sei das Zielfunktional minJ(y, u) := 1
2ky(·, T)−yΩk2L2(Ω)+ 1
2ky−yQk2L2(Q)+λ
2kuk2L2(Σ)
unter den Nebenbedingungen
yt−∆y= 0 in Q ,
∂νy+y3|y|=u in Σ,
y(·,0) =y0 in Ω,
u∈Uad :=
u∈L∞(Σ) : 0≤u(x, t)≤1 fast ¨uberall .
a) Unter welchen (minimalen) Voraussetzungen existiert f¨ur jedes Paar (u, y0) eine L¨osung y ∈ W(0, T) ∩ C( ¯Q) des semilinearen Randwert- problems?
b) Unter welchen (minimalen) Voraussetzungen existiert mindestens eine (global) optimale Steuerung ¯u?
c) Wie lautet die adjungierte Gleichung? Unter welchen Voraussetzungen ist der adjungierte Zustand stetig?
d) Man gebe notwendige Bedingungen (Variationsungleichung, Projektions- formel, etc.) f¨ur die F¨alle λ > 0 und λ = 0 an. Welchem Raum geh¨ort die optimale Steuerung ¯u an?
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