Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 1: WS 2009/10)

2. ¨Ubung Vorbemerkung:

In diesem ¨Ubungsblatt werden einige grundlegende Eigenschaften der speziellen Sobolewr¨aume H^m(Ω) und H₀^m(Ω), meist f¨ur m = 1, behandelt. Sobolew- r¨aume sind Funktionenr¨aume und stellen ein sehr wichtiges funktionalana- lytisches Hilfsmittel f¨ur die Theorie und Numerik von partiellen Differential- gleichungen dar. Die allgemeinen Sobolewr¨aume W^m,p(Ω) sind Banachr¨aume (mit Norm), nur die speziellen R¨aume H^m(Ω) :=W^m,2(Ω) sind Hilbertr¨aume (mit Skalarprodukt). Dabei werden Funktionen, die sich nur auf einer Menge vom Maß Null unterscheiden, als gleich, als Mitglieder einer Aquivalenzklasse¨ angesehen. Desweiteren sind diese R¨aume vollst¨andig, so dass jede Cauchy- Folge von Funktionen auch in diesen R¨aumen konvergiert. Alternativ zur Defin- ition der Vorlesung mithilfe der schwachen Ableitungen kann man die Sobolew- r¨aume W^m,p(Ω) (W₀^m,p(Ω)) auch als Vervollst¨andigung aller C^∞(Ω)- bzw.

C₀^∞(Ω)-Funktionen bzgl. der Normk·k^Wm,p(Ω) verstehen, also als Vervollst¨andi- gung aller Funktionen, die unendlich oft stetig partiell differenzierbar sind bzw. zus¨atzlich noch außerhalb eines kompakten Tr¨agers verschwinden. Die Sobolewr¨aume enthalten die Menge derC^∞(Ω)- bzw.C₀^∞(Ω)-Funktionen dann dicht.

Auf der Basis des Konzepts der Sobolewr¨aume lassen sich dann sowohl Exis- tenzaussagen f¨ur Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen be- weisen, als auch Konvergenzaussagen f¨ur Folgen numerischer Approximationen gewinnen.

Aufgabe 1 zeigt, dass die Minimierung von Funktionalen, das Ziel unserer Vorlesung, auf Sobolewr¨aumen erfolgen muss, da deren Vollst¨andigkeit f¨ur die Wohlgestelltheit der Aufgaben der optimalen Steuerung bei partiellen Differ- entialgleichungen, also der Minimierung von Funktionalen unter Nebenbedin- gungen in Form partieller Differentialgleichungen, wesentlich ben¨otigt werden wird. In Aufgabe 2 wird die ¨Aquivalenz von Normen und Seminormen von Sobolewr¨aumen untersucht und die wichtige Poincar´e-Friedrich-Ungleichung bewiesen. Die f¨ur elliptische partielle Gleichungen wichtigen Sobolewr¨aume H¹(Ω) und H¹(Ω) stehen im Vordergrund der Aufgabe 3.

Man ist leicht geneigt, f¨ur praktische Anwendungen nur klassischen L¨osungen eine Bedeutung beizumessen und sogenannte schwache L¨osungen aus Sobolew- r¨aumen, die sp¨ater untersucht werden, als rein mathematische Objekte abzuw- erten; siehe Aufgabe 5. Solche Funktionen k¨onnen sogar Singularit¨aten be- sitzen; siehe Aufgaben 4 und 5. Zwar ist der Raum H¹([a, b]) im Raum aller auf [a, b] stetigen Funktionen enthalten, doch gilt dies nicht, wenn das Gebiet mindestens zweidimensional ist; siehe Aufgabe 4. Sind die Indizes m und p in der Definition der Sobolewr¨aume allerdings hinreichend groß, enthalten sie auch bis zu einem gewissen Grade glatte Funktionen; siehe Bemerkungen zu Aufgabe 4.

Literatur:

Adams, R. A.: Sobolev Spaces, New York: Academic Press, 1975.

Alt, H. W.: Lineare Funktionalanalysis, 4. Auflage, Berlin: Springer, 2002.

Heuser, H.: Funktionalanalysis, 3. Auflage, Stuttgart: Teubner, 1992.

Litvinov, W. G.: Optimization in Elliptic Problems with Applications to Mechanics and Deformable Bodies and Fluid Mechanics, Basel: Birkh¨auser, 2000, Kapitel 1.

Lusternik, L. A., Sobolew, W. I.:Elemente der Funktionalanalysis, Berlin: Akademie- Verlag, 1999.

1) Dirichlet-Prinzip

Dirichlet erkl¨arte, dass aus der Beschr¨anktheit eines Funktionals J(u) nach unten, welches auf einer gegebenen Funktionenklasse definiert ist, stets folgt, dass J sein Minimum auch f¨ur eine Funktion u aus dieser Funktionenklasse annimmt. Dieses Argument bezeichnet man heute als Dirichlet-Prinzip. Es wurde 1870 von Weierstraß widerlegt.

Man gebe ein Gegenbeispiel f¨ur das Dirichletsche Prinzip an.

Hinweis: Man untersuche dazu z. B. das Integral J(u) =

1

Z

0

u²(t) dt

auf einer geeigneten Teilmenge der stetigen Funktionen C⁰[0,1].

2) Die Poincar´e-Friedrichssche Ungleichung

In R¨aumen mit verallgemeinerten Nullrandbedingungen wie z. B. in den Sobolewr¨aumen H₀^m sind die Seminormen

|u|^m :=

sX

|α|=m

||∂^αu||²L2(Ω)

zu den Normen

||u||^m :=p

(u, u)m :=

sX

|α|≤m

||∂^αu||²_L2(Ω) Bez. in Vorl.: k · kH^m(Ω)

auf beschr¨ankten Gebieten ¨aquivalent.

Dazu zeigen wir: Ist Ω in einem N-dimensionalen W¨urfel der Kanten- l¨ange s enthalten, dann gilt:

a)

||v||⁰ ≤s|v|¹ f¨ur alle v ∈H₀¹(Ω).

Dies ist die so genannte Poincar´e-Friedrichs-Ungleichung.

Hinweis:Da C₀^∞ dicht bzgl.k · k¹ inH₀¹(Ω) ist, gen¨ugt es, die Poin- car´e-Friedrichs-Ungleichung f¨ur v ∈C₀^∞(Ω) zu beweisen. Man gehe aus von dem Ansatz

v(x1, x2,. . ., xN) =v(0, x2,. . ., xN) +

x1

Z

0

∂1v(ξ, x2,. . ., xN) dξ .

Bemerkung: Zum Nachweis der Poincar´e-Friedrichs-Ungleichung sind Nullrandbedingungen nur auf einem Teil des Randes n¨otig.

Wenn Γ = ∂Ω st¨uckweise glatt ist, gen¨ugt es, dass die Funktion auf einem Teil des Randes ΓD verschwindet und ΓD eine Menge mit positivem n−1-dimensionalen Maß ist.

b)

|∂^αu|⁰ ≤s|∂1∂^αu|⁰ f¨ur alle |α| ≤m−1 und u∈H₀^m(Ω). c)

|v|^m ≤ ||v||^m ≤(1 +s)^m|v|^m f¨ur alle v ∈H₀^m(Ω).

Bemerkung: Die ¨Aquivalenz zwischen Norm und Seminorm kann man sich bei Absch¨atzungen h¨aufig zu nutze machen, da Absch¨at- zungen f¨ur die Seminorm in der Regel weniger Rechenaufwand be- deuten.

Man beachte jedoch, dass in allgemeinen unendlichdimensionalen R¨aumen nicht alle Normen paarweise ¨aquivalent sind; siehe z. B.

Alt, S. 2 und 91: Es gilt offensichtlich kuk^L2(Ω) ≤ Ckuk^C0(Ω) f¨ur alle u∈C⁰(Ω), aber nicht die Umkehrung. Betrachten Sie dazu die Funktionen uε(x) := max{0,¹_ε

1− ^|x|_ε

}^1/2 mit 0 < ε < 1, f¨ur die kuεk^C0[−1,1] =ε^−1/2, aber kuεk^L2[−1,1] = 1.

3) H₀¹(Ω) ist ein echter Unterraum von H¹(Ω)

Es sei Ω ein nichtleeres, beschr¨anktes Gebiet. Man zeige mit der Poincar´e- Friedrichs’schen Ungleichung, dass die konstante Funktion u = 1 nicht in H₀¹(Ω) enthalten ist.

Bemerkung: Das bedeutet auch, dass die Ungleichung von Poincar´e- Friedrichs wesentlich mit dem Raum H₀¹(Ω) verbunden ist. In H¹(Ω) kann sie nicht gelten: ¨Ubergang von v nach v+ const mit einer beliebi- gen Konstante ¨andert nur die linke Seite der Poincar´e-Friedrichs’schen Ungleichung.

4) H¹[a, b]⊂C[a, b], aber H¹(Ω)6⊂C(Ω), wenn Ω⊂R^N mit N ≥2 Bekanntlich gibt es in L₂(Ω) auch unbeschr¨ankte Funktionen. Wie weit auch h¨ohere Sobolewr¨aume noch solche Funktionen enthalten, h¨angt von der Dimension des Gebietes ab. Dies soll anhand des Sobolewraumes H¹(Ω) als dem wichtigsten Raum erl¨autert werden.

Man zeige:

a) Es sei Ω = [a, b] ein reelles Intervall. Dann istH¹[a, b]⊂C[a, b].

Hinweis: Man hat zu zeigen: F¨ur ein beliebiges u ∈ H¹[a, b], das als Grenzelement einer Cauchy-Folge {u}n∈N in H¹[a, b]∩C^∞[a, b]

angenommen werden darf, gilt u ∈ C⁰[a, b]. Damit sich sich die Stetigkeit der Folgenglieder un ∈ C^∞[a, b] auf das Grenzelement vererben, muss die Folge gleichm¨aßig konvergent sein; siehe z. B.

Satz 104.2, Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Seite 551. Zum Nachweis der gleichm¨aßigen Konvergenz verwende man den Satz von Arzel`a-Ascoli; siehe z. B. Satz 106.2, Heuser, Analysis 1, S. 563f.

Dazu muss man zeigen, jede Cauchy-Folge in H¹[a, b]∩C^∞[a, b] ist gleichgradig stetig, d. i.

∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈[a, b] ∀u˜∈ {un}^n∈N:

|x−y|< δ=⇒ |u(x)˜ −u(y)˜ |< ε , und gleichm¨aßig beschr¨ankt, d. i.

∃M ∈R ∀u˜∈ {un}^n∈N ∀x∈[a, b] : |u(x)˜ |< M . F¨ur die gleichgradige Stetigkeit sch¨atze man ab:

|un(x)−un(y)|=|

y

Z

x

u^′_n(t) dt|.

Warum ist das Supremum sup_n∈N{ku_nk1} beschr¨ankt, wenn {un}^n∈N eine Cauchy-Folge ist?

F¨ur die gleichm¨aßige Beschr¨anktheit zeige man zun¨achst ku˜k¹ ≤sup

n∈N{kunk¹} f¨ur alle ˜u∈ {un}^n∈N und f¨uhre dann einen indirekten Beweis.

b) Schon f¨ur zweidimensionale Gebiete Ω ist die entsprechende Aussage nicht mehr richtig. Dazu untersuche man die Funktion

u(x, y) = ln

ln2 r

, r=p

x²+y², auf dem offenen Einheitskreis.

c) F¨ur beschr¨ankte N-dimensionale Gebiete, N ≥ 3, untersuche man die Funktion

u(x) =r^−α, r=

N

X

i=1

x²_i

!

1 2

, 0< α < N −2 2 , und zeige, dass u∈H¹(Ω).

Was folgt f¨ur die Singularit¨aten von u mit wachsendem N?

Hinweis: Wegen der ¨Aquivalenz von Norm und Seminorm reicht es zu zeigen, dass in einer hinreichend großen N-dimensionalen Kugel KR(0)⊃Ω mit Mittelpunkt 0 und RadiusR gilt:

|u|²1 = Z

KR(0)

|∇u(x)|² dx1. . . dxN <∞.

Wegen der Singularit¨at inr= 0 sch¨atze man zun¨achst das eigentliche Integral

|u|²1 = Z

K̺,R(0)

|∇u(x)|² dx1. . . dxN <∞

¨uber die

”gelochte“ Kugel K̺,R(0) := KR(0) \K̺(0) mit Innen- radius ̺, 0 < ̺ < R, und Außenradius R ab und lasse am Ende

̺→0 gehen. Man benutze N-dimensionale Kugelkoordinaten, ver- gleichbar dem Prinzip von Cavalieri — siehe Heuser, Analysis 2, Seite 468f: Dazu muss man nur wissen, dass das Oberfl¨achenelement die Form r^N−1Φ(ϕ₁,. . ., ϕ_N−1) dϕ₁. . . dϕ_N−1dr hat. Der Beitrag durch die Integrationen ¨uber die N −1 Raumwinkel ϕ1,. . ., ϕN−1

ergibt dann lediglich eine nur von N abh¨angige Konstante cN, die Oberfl¨ache derN-dimensionalen Einheitskugel: c_N = 2√

π^N/Γ(^N₂).

Bemerkungen:

– H²- Funktionen mit einem Definitionsbereich imR²sind stetig. Zum Beweis braucht man allerdings einen Einbettungs- und Spursatz;

siehe z. B. D. Braess: Finite Elemente, Berlin: Springer, 1992, § 3.

– Allgemeiner gilt: Sobolewr¨aume lassen sich in H¨older-R¨aume stetig einbetten; siehe Alt, Seiten 41 und 317: Es sei Ω ⊂ Rⁿ offenes und beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet. Weiter seien m, p und k ganze Zahlen mit m ≥ 1, 1 ≤ p < ∞, k ≥ 0 und γ reell mit 0 ≤ γ ≤ 1.

Dann gilt: Ist m− n

p =k+γ , sowie 0< γ <1 (also γ 6= 0,1) , so existiert die Einbettung

id : W^m,p(Ω) ֒→C^k,γ( ¯Ω)

und ist (offensichtlich) linear, aber auch stetig. Genauer: Zu jedem u ∈ W^m,p(Ω) gibt es genau eine f¨ur |s| ≤ k auf Ω k-mal stetig differenzierbare und auf ¯Ω stetig fortsetzbare sowie f¨urs=kH¨older- stetige Funktion, welche fast ¨uberall mit u ubereinstimmt — wir¨ bezeichnen sie wieder mit u —, so dass

kukC^k,γ( ¯Ω) ≤C(Ω, n, m, p, k, γ)kuk^Wm,p(Ω) (Stetigkeit! § 2.4). Dabei heißt eine Funktion v: V → Y mit V ⊂ Rⁿ und {Y,k · k}, Banachraum, H¨older-stetig, wenn

sup

x,y∈V, x6=y

kv(x)−v(y)kY

kx−yk^γRn <∞.

Istγ = 1, nennt man die Funktionen Lipschitz-stetig. Mit geeigneter Norm sind die H¨older-R¨aumeC^k,γ(Ω), Ω⊂Rⁿ, auch Banachr¨aume.

Als Norm w¨ahlt man — hier ist {Y,k · k}={Rⁿ,| · |}— kukC^k,γ(Ω) := X

|α|≤k

kD^αuk^C(Ω)+ X

|α|=k

|D^αu|C^0,γ(Ω).

Hierbei bezeichnet kD^αuk^C(Ω) := sup_x∈Ω|D^αu(x)| die Supremum- snorm im Raum der stetigen Funktionen und |D^αu|C^0,γ(Ω) die fol- gende Halbnorm

|D^αu|^C0,γ(Ω) := sup

x,y∈Ω, x6=y

|D^αu(x)−D^αu(y)|

|x−y|^γ .

5) H¨ohere Ableitungen klassischer L¨osungen elliptischer partieller Differentialgleichungen m¨ussen nicht

beschr¨ankt sein

Man betrachte ein zweidimensionales Gebiet mit einspringender Ecke

Ω ={(x, y)∈R²: x²+y² <1, x <0 oder y >0}. Gesucht ist die L¨osung der elliptischen Randwertaufgabe

∆u= 0 in Ω,

u(e^iϕ) = sin 2

3ϕ

f¨ur 0≤ϕ ≤ 3 2π ,

u= 0 sonst auf ∂Ω.

Man identifiziere R² mit C , l¨ose die Randwertaufgabe und zeige, dass nicht einmal die ersten Ableitungen von u beschr¨ankt sind, wenn z =x+i y→0.