1
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BUNGEN ZURT
HEORETISCHENP
HYSIKIII
(T
HEORIEC, E
LECTRODYNAMIK), WS 2011/12 B
LATT5
Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. S.Thambyahpillai Abgabe: 21. 11. 11 Institut f ¨ur Theoretische Physik Besprechung: 23. 11. 11
Name:
. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):Gruppe
1
Matthias Weinreuter
Gruppe
2
Juraj Streicher
Gruppe
3
Philip Wollfarth
Gruppe
4
Ulf Briskot Gruppe
5
Valentin Bolsinger
Gruppe
6
Robin Roth
Gruppe
7
Julian St ¨ockel
Gruppe
8
Stefan Miereis Gruppe
9
Philipp Rudo
Gruppe
10
Marius B ¨urkle
Gruppe
11
Guillaume Chalons
Gruppe
12
Justus Zorn Gruppe
13
Yasmin Anstruther
∗
Aufgabe 1: Dielektrika 3
Gegeben seien zwei dielektrische Halbr¨aume mit den Dielektrizit¨atskonstantenǫundǫ′. Im ersten Halbraum (ǫ) befinde sich eine Ladungqim Abstandavon der Grenzfl¨ache.
i) Berechnen Sie das elektrostatische Potential dieser Anordnung (Hinweis: Methode 2P der Spiegelladungen).
ii) Diskutieren Sie die F¨alleǫ=ǫ′ undǫ′ → ∞. 1P
Aufgabe 2: Greensche Funktion 6
Auf der Oberfl¨ache einer Kugel mit RadiusRsei das PotentialU(θ, ϕ)vorgegeben.
i) Geben Sie die Greensche Funktion GD(~x, ~x′)f ¨ur das Dirichletsche Randwertpro- 1P blem f ¨ur den Außenraum der Kugel an.
∗8. November 2011 19:05 Uhr
(bitte wenden)
2
Hinweis: Zeigen Sie, dass das in Blatt 4, Aufgabe 3 berechnete Potential bereits GD f ¨ur den speziellen Fall ~x′ = (0,0, z′) ergibt, und finden Sie hieraus GD f ¨ur allgemeines~x′.
Wie lautetGD f ¨ur den Innenraum der Kugel?
ii) Zeigen Sie, dass das Potential im Innenraumr < R (Außenraum r > R) in der 1P Form
Φ(r, θ, ϕ) = R|R2−r2| 4π
Z
dΩ′ U(θ′, ϕ′)
(r2+R2−2rRcosα)3/2 ,
dargestellt werden kann, wenn der Innenraum (Außenraum) der Kugel ladungs- frei ist. Hierbei istcosα= cosθcosθ′+ sinθsinθ′cos(ϕ−ϕ′)unddΩ′ = sinθ′dθ′dϕ′. iii) Berechnen Sie mit Hilfe vonii)das Potential entlang der positivenz-Achse f ¨ur die 2P
auf der Kugeloberfl¨ache vorgegebenen PotentialeU1 =q =const undU2 = cosθ.
Entspricht das Resultat f ¨ur U1 Ihren Erwartungen? Wenn U2 als von einer La- dungsverteilung erzeugt gedacht wird, was kann f ¨ur die zugeh ¨orige Gesamtla- dung aus dem Resultat f ¨urΦ(z > R)geschlossen werden?
iv) Zeigen Sie, dass das Potential ausii)f ¨urr < Rin die ¨aquivalente Form 2P
Φ(r, θ, ϕ) =
∑
∞ l=0∑
l m=−lClm
r
R l
Ylm(θ, ϕ),
¨ubergef ¨uhrt werden kann, wobei
Clm = Z
dΩ′Ylm∗ (θ′, ϕ′)U(θ′, ϕ′).
Aufgabe 3: Potential im Quader 3
Gegeben sei ein Quader mit den Kantenl¨angena,bundcinx-, y- undz-Richtung. Alle Seitenfl¨achen bis auf zwei befinden sich auf dem Potential Null, nur die Fl¨achenz = c undy =bhaben beliebige PotentialeU(x, y)undV(x, z).
i) Berechnen Sie das Potential im Inneren des Quaders. 2P
ii) Was ergibt sich f ¨ur den SpezialfallU =V =k=const? 1P
