6 12 5 11 4 10 16 3 9 15 2 8 14 1 7 13 Name: T P CB 3 ¨U

(1)

U ¨

^{BUNGEN ZUR}

T

HEORETISCHEN

P

^HYSIK

C B

^LATT

3

Prof. Dr. J. K ¨uhn (Theoretische Teilchenphysik) Abgabe: Montag, 9.11.2009, 9:30 Uhr Dr. S. Uccirati (Theoretische Teilchenphysik) Besprechung: Dienstag, 10.11.2009

Name:

. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):

Gruppe

1

Bierweiler Anastasia

Gruppe

7

Husnik Martin

Gruppe

13

Rogal Mikhail Gruppe

2

Davidkov Momchil

Gruppe

8

Kleine Jonas

Gruppe

14

Rzehak Heidi Gruppe

3

Gansel Justyna

Gruppe

9

Marquard Peter

Gruppe

15

Schnitter Karsten Gruppe

4

Gerhard Lukas

Gruppe

10

Prausa Mario Gruppe

16

Wayand Stefan Gruppe

5

v.Hodenberg Janine

Gruppe

11

Redlof Martin Gruppe

6

Hofer Lars

Gruppe

12

Rittinger J ¨org

Aufgabe 1: Cavendish Experiment 11 Punkte

Das elektrostatische Potential im Inneren einer geladenen leitenden Kugel ist konstant, das elektrische Feld verschwindet. Dies ist eine einzigartige Eigenschaft des Coulomb- feldes, die sich im Gaußschen Gesetz ausdr ¨uckt. Eine Abweichung vom Coulombgesetz f ¨uhrt auf ein endliches Feld im Inneren der Kugel.

Nachdem 1705 das erste Elektroskop mit Strohhalmen von Hawksbee erfunden wur- de, verifizierte Cavendish 1772 das Coulombgesetz mit folgendem Nullexperiment: Er nahm zwei konzentrische Metallkugeln, verbunden durch einen elektrischen Kontakt und lud die ¨außere mit statischer Ladung auf. Nach Entfernung des Kontaktes entlud und erntfernte er die ¨außere Kugel, maß die Ladung auf der Innenkugel mittels einem Elektrometer und fand null.

Man betrachte im folgenden die beiden Potentiale (einer Punktladungq) V(r) = ¹

4πǫ0k^ǫ q r¹⁻^ǫ, (a)

V(r) = ¹ 4πǫ0

q re⁻^µ^r, (b)

die im Grenz ¨ubergangǫ, µ→0 in das 1/r-Potential des Coulombgesetzes ¨ubergehen.k ist eine dimensionsbehaftete Konstante. Das erste Potential entspricht einem Abfall mit (bitte wenden)

(2)

U ¨

^{BUNGEN ZUR}

T

HEORETISCHEN

P

^HYSIK

C B

^LATT

3

einer von−1 verschiedenen Potenz, letzteres einem Yukawa-Potential, das f ¨ur die elek- tromagnetische Wechselwirkung im Falle einer endlicher Photonmasse von der Proca- Gleichung vorhergesagt wird.

Kugel 1 σ1,Q1

Kugel 2 σ2,Q2

R1 R2

i) Berechne f ür diese beiden Potentiale die totale elektrostatische Energie des Sy- 5P stems f ür beliebige Flächenladungsdichten σ1, σ2. Die Gesamtenergie setzt sich aus den beiden Selbstenergien der einzelnen Kugeln und der Wechselwirkungs- energie zusammen:

Eges = ¹

2

∑

i,j=₁,2

Ei j, Ei j = ¹

4πǫ0k^ǫ Z

Kugeli

d²r1

Z

Kugelj

d²r2

σiσj

|~r1−~r2|¹⁻^ǫ, (a)

Ei j = ¹ 4πǫ0

Z

Kugeli

d²r1

Z

Kugelj

d²r2

σiσj

|~r1−~r2|e⁻^µ^|^~^r¹⁻^~^r²^|. (b)

Aus Symmetriegr ¨unden sind die Fl¨achenladungsdichtenσi =_Q_i/(4πR²_i) auf jeder der Kugeln homogen.

(bitte wenden)

(3)

U ¨

^{BUNGEN ZUR}

T

HEORETISCHEN

P

^HYSIK

C B

^LATT

3

Hinweis: Es ergibt sich

(a) Eges = ¹

8πǫ0k^ǫ 1 1+ǫ

Q²₁ R1

(2R1)^ǫ+ ^Q

22

R2

(2R2)^ǫ +^Q¹^Q²

R1R2

h(R1+_R₂₎¹⁺^ǫ₋_(R₂₋_R₁₎¹⁺^ǫ i

(b) Eges = ¹

8πǫ0µ Q²₁

2R²₁

1−e⁻²^µ^R¹ + ^Q

22

2R²₂

1−e⁻²^µ^R²

+^Q¹^Q² R1R2

h

e⁻^µ^(R²^−R¹⁾−e⁻^µ^(R¹⁺^R²⁾i

ii) Bestimme die Ladung Q1 der inneren Kugel. Dazu minimiere man die Gesamt- 2P energie des Systems unter der Nebenbedingung, daß die GesamtladungQerhal- ten bleibt:

d dQ1

Eges =₀ _mit _Q₂ =_Q₋_Q₁.

iii) Berechne den f ¨uhrenden Term in der Entwicklung von Q1 im Limes ǫ, µ → 0. 2P Welches Vorzeichen hat die Ladung auf der inneren Kugel Q1? Interpretiere das Ergebnis.

iv) Anhand der experimentellen Angaben schätze man ab, mit welcher Präzision Ca- 2P vendish eine Abweichung vom Coulombfeld inǫundµmessen konnte. Man bestimme daraus eine obere Schranke f ür die Photonenmassesm=µh/(2πc).

Die Radien der Kugeln sind R1 = _{15 cm und} _R₂ = 30 cm. Die Ladung auf der

äußeren Kugel kann man aus der maximal m öglichen Feldstärke, der Durchschlags- feldstärke Emax = ₁₀⁵_V/m bestimmen. Die gerade noch nachweisbare Ladung ergibt sich aus der Ansprechspannung 100 V und der Kapazität 50 pF des Elektro- meters.