13 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 Name: C,E ),WS2011/12B 1 T P III(T ¨U

(1)

1

U ¨

^{BUNGEN ZUR}

T

HEORETISCHEN

P

^HYSIK

III

(T

^HEORIE

C, E

LECTRODYNAMIK

), WS 2011/12 B

^LATT

1

Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. S.Thambyahpillai Abgabe: 24. 10. 10 Institut f ¨ur Theoretische Physik Besprechung: 26. 10. 10

Name:

. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):

Gruppe

1

Matthias Weinreuter

Gruppe

2

Juraj Streicher

Gruppe

3

Philip Wollfarth

Gruppe

4

Ulf Briskot Gruppe

5

Valentin Bolsinger

Gruppe

6

Robin Roth

Gruppe

7

Julian St ¨ockel

Gruppe

8

Stefan Miereis Gruppe

9

Philipp Rudo

Gruppe

10

Marius B ¨urkle

Gruppe

11

Guillaume Chalons

Gruppe

12

Justus Zorn Gruppe

13

Yasmin Anstruther

∗

Aufgabe 1: Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten 3

i) Berechnen Sie (wobei~r= (x, y, z),r=|~r|) 1P

∇r , ∇ ·~r , ∇ ×~r , ∇f(r), ∇ ×(f(~r)~r r).

ii) Es seien~v(~r), w(~r)~ stetig differenzierbare Vektorfelder. Zeigen Sie, daß in kartesi- 2P schen Koordinaten gilt

∇ ·(~v×w) =~ w(∇ ×~ ~v)−~v(∇ ×w)~

∇ ×(~v×w) =~ ~v(∇w)~ −w(∇~v) + (~ w~ · ∇)~v−(~v· ∇)w~

∇ ·(∇ ×~v) = 0

∇ ×(∇ ×~v) = ∇(∇ ·~v)− ∇²~v

∗17. Oktober 2011 13:54 Uhr

(bitte wenden)

(2)

Aufgabe 2: Nabla-Operator in Kugelkoordinaten 5 i) Leiten Sie die Form von ∇ und ∆ = ∇² in Kugelkoordinaten her. Hierbei soll 3P

der Vektoroperator ∇in der Orthonormalbasis {~er, ~eθ, ~eφ} der Kugelkoordinaten ausgedr ¨uckt werden (beachten Sie daß die Ableitungen dieser Basisvektoren im Allgemeinen nicht verschwinden).

ii) Berechnen Sie∇ ·~vund∇ ×~vin Kugelkoordinaten. 2P

Aufgabe 3: Inkompressible Fl ¨ussigkeit 4

Der Fluß einer inkompressiblen Fl ¨ussigkeit um einen Zylinder mit RadiusR wird be- schrieben durch das Geschwindigkeitsfeld~v (wobeiρ² :=x²+y² > R² gilt)

vx =v⁰(1− R²

ρ²) + 2v⁰y²R²

ρ⁴ , vy =−2v⁰xyR²

ρ⁴ , vz = 0.

i) Zeigen Sie, daß∇ ·~v= 0gilt. Was bedeutet das physikalisch? 1P ii) Zeigen Sie, daß∇ ×~v= 0gilt. Was bedeutet das physikalisch? 1P iii) Ausii) folgt daß~v = ∇ψ, d.h. die durch~v beschriebene Str ¨omung ist eine soge- 2P

nannte Potentialstr ömung. Versuchen Sie, ψ zu finden. (Hinweis: versuchen Sie, ψ aus einer Komponente der obigen Vektorgleichung zu bestimmen, z. B. aus vx = ∂xψ; das so gefundene ψ muß die zweiten Gleichung vy = ∂yψ wegen der Integrabilitätsbedingung∇ ×~v = 0automatisch erf üllen, wenn allfällige Integra- tionskonstanten richtig gewählt werden.)

Was muß f ¨ur∆ψ gelten?