1
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BUNGEN ZURT
HEORETISCHENP
HYSIKIII
(T
HEORIEC, E
LECTRODYNAMIK), WS 2011/12 B
LATT2
Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. S.Thambyahpillai Abgabe: 31. 10. 11 Institut f ¨ur Theoretische Physik Besprechung: 02. 11. 11
Name:
. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):Gruppe
1
Matthias Weinreuter
Gruppe
2
Juraj Streicher
Gruppe
3
Philip Wollfarth
Gruppe
4
Ulf Briskot Gruppe
5
Valentin Bolsinger
Gruppe
6
Robin Roth
Gruppe
7
Julian St ¨ockel
Gruppe
8
Stefan Miereis Gruppe
9
Philipp Rudo
Gruppe
10
Marius B ¨urkle
Gruppe
11
Guillaume Chalons
Gruppe
12
Justus Zorn Gruppe
13
Yasmin Anstruther
∗
Aufgabe 1: Vektorfelder, Satz von Gauß 5
Gegeben sind die Vektorfelder (Rist konstant undρ=p
x2+y2)
A~ = 1 R2+ρ2
y
−x 0
, B~ = 1 R2+ρ2
x y 0
.
i) Berechnen Sie Divergenz und Rotation beider Vektorfelder. 1P ii) Gegeben sei ein W ¨urfel mit Mittelpunkt in (0,0,0) und Kantenl¨ange 2 (die Kanten 1P
sind parallel zu den Koordinatenachsen gelegen). Berechnen Sie das Oberfl¨achen- integralR A~·d ~f entlang der W ¨urfeloberfl¨ache. H¨atten Sie das Resultat mithilfe des Gaußschen Satzes vorhersagen k ¨onnen?
iii) Berechnen Sie das Oberfl¨achenintegralR B·d ~~ fentlang derselben W ¨urfeloberfl¨ache 3P wie in ii). ¨Uberpr ¨ufen Sie das Resultat mithilfe des Gaußschen Satzes. Hinweis:
∗21. Oktober 2011 16:55 Uhr
(bitte wenden)
Die zweite Integration (unter Ben ¨utzung des Gaußschen Satzes) ist einfacher in ebenen Polarkoordinaten ((x, y)→(r, φ)).
Ben ¨otigte Integrale:
Z 1
0
dx
a2+x2 = 1
aarctan1 a, Z π/4
0
dφ
a2+ tan2(φ) = aπ−4 arctan1a 4a(a2−1) .
Aufgabe 2: Satz von Gauß und Stokes 2
Gegeben ist das Vektorfeld
~v =
xy 2yz 3xz
.
i) Uberpr ¨ufen Sie den Satz von Gauß f ¨ur den W ¨urfel mit den Eckpunkten (0,0,0),¨ 1P (2,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (0,0,2), (2,0,2), (0,2,2), (2,2,2).
ii) Uberpr ¨ufen Sie den Satz von Stokes f ¨ur das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0,0),¨ 1P (0,2,0), (0,0,2).
Aufgabe 3: Linien- und Oberfl¨achenintegral 5
Gegeben sei das Vektorfeld~v= ~rr (wobei wieder~r= (x, y, z)undr=|~r|).
i) Berechnen Sie das LinienintegralRC~v·d~r entlang einer beliebigen Kurve C zwi- 1P schen den Punkten~r1und~r2.
ii) Berechnen Sie das Oberfl¨achenintegralRS0~v·d ~f ¨uber eine Kugeloberfl¨acheS0mit 2P RadiusR, wobei der Kugelmittelpunkt im Ursprung(0,0,0)gelegen ist.
iii) Berechnen Sie das Oberfl¨achenintegralRSb~v·d ~f ¨uber eine Kugeloberfl¨acheSb mit 2P RadiusR, wobei der Kugelmittelpunkt im Punkt(0,0, b)gelegen ist. Nehmen Sie R > b an. (Hinweis: Das etwas unsch ¨on gelegene Integrationsgebiet l¨asst sich durch einen einfachen ersten Schritt leicht in ein sch ¨oner gelegenes ¨uberf ¨uhren.)
