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BUNGEN ZURT
HEORETISCHENP
HYSIKC B
LATT9
Prof. Dr. J. K ¨uhn (Theoretische Teilchenphysik) Abgabe: Montag, 11.1.2010, 9:30 Uhr Dr. S. Uccirati (Theoretische Teilchenphysik) Besprechung: Dienstag, 12.1.2010
Name:
. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):Gruppe
1
Bierweiler Anastasia
Gruppe
7
Husnik Martin
Gruppe
13
Rogal Mikhail Gruppe
2
Davidkov Momchil
Gruppe
8
Kleine Jonas
Gruppe
14
Rzehak Heidi Gruppe
3
Gansel Justyna
Gruppe
9
Marquard Peter
Gruppe
15
Schnitter Karsten Gruppe
4
Gerhard Lukas
Gruppe
10
Prausa Mario Gruppe
16
Wayand Stefan Gruppe
5
v.Hodenberg Janine
Gruppe
11
Redlof Martin Gruppe
6
Hofer Lars
Gruppe
12
Rittinger J ¨org
Aufgabe 1: Fourier-Transformation 5 Punkte
Die Fouriertransformiertef˜(~k)einer Funktionf(~x)ist definiert:
f˜(~k) = 1 (2π)3/2
Z
V d3x f(~x)e−i~k·~x Die inverse Fourier-Transformation lautet dann
f(~x) = 1 (2π)3/2
Z
V d3kf(~k˜ )ei~k·~x
Die Funktionf(~x)erf ¨ulle im Folgenden die mathematischen Voraussetzungen, so dass die Fourier-Transformierte existiert. Nehmen Sie insbesondere an, dassf(~x)im Unend- lichen verschwinde.
i) Zeigen Sie, dass die Delta-Distribution in der Form 2P
δ(~x) = 1 (2π)3
Z
V
d3k ei~k·~x dargestellt werden kann.
(bitte wenden)
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BUNGEN ZURT
HEORETISCHENP
HYSIKC B
LATT9
Prof. Dr. J. K ¨uhn (Theoretische Teilchenphysik) Abgabe: Montag, 11.1.2010, 9:30 Uhr Dr. S. Uccirati (Theoretische Teilchenphysik) Besprechung: Dienstag, 12.1.2010
Hinweis: F ¨ugen Sie dazu im Exponenten einen D¨ampfungsterm−ǫ(|kx|+|ky|+
|kz|) mit ǫ > 0 hinzu, so dass der Integrand im Unendlichen verschwindet. Be- trachten Sie erst nach der Berechnung des Integrals den Grenzwert f ¨urǫ →0.
ii) Zeigen Sie die Parsevalsche Identit¨at: 1P
Z
V
d3x f∗(~x)g(~x) = Z
V
d3kf˜∗(~k) ˜g(~k)
iii) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von∂if(~x). 1P iv) Die Faltung zweier Funktionenf(~x)undg(~x)ist definiert durch 1P
h(~x) = 1 (2π)3/2
Z
V
d3x′f(~x −~x′)g(~x′)
Zeigen Sie das Faltungstheorem˜h(~k) = ˜f(~k)˜g(~k).
Aufgabe 2: Fourier-Transformation der L¨osung der Wellengleichung 3 Punkte Zeigen Sie, daß die Fouriertransformierte der in der Vorlesung hergeleiteten L ¨osung der relativistischen Wellengleichung
(a) D(t, ~k) =˜ 1 (2π)3/2
1 2i ω(~k)
ei ω(~k)t−e−i ω(~k)t
mitω(~k) = c|~k|gegeben ist durch:
(b) D(t, ~x) = 1
4π|~x|c2 [δ(t− |~x|/c)−δ(t+|~x|/c)].
Aufgabe 3: ¨Uberlagerung von Wellen 4 Punkte
Betrachten Sie die ¨Uberlagerung zweier linear polarisierter Wellen mit gleichem Wel- lenvektor~k.
E~ =E~1cos(~k·~r−ωt) +E~2cos(~k·~r−ωt−φ) mit E~ ·~k = 0.
Sei die Ausbreitung der Wellen inz-Richtung, d.h.~k=k~ezundE1z =E2z = 0.
Welche Bedingungen sollenE1x,E2x,E1y,E2y undφerf ¨ullen, so dass
i) E~ is linear polarisiert, 2P
ii) E~ is zirkular polarisiert. 2P
