Physik I (Mechanik)
14. Übungsblatt WS 2008/2009
Ausgabe 3.02.09, Besprechung 11.02.09 G.Weiß / G. Fischer
Aufgage 51: (6 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass ( )x t =A⋅sin(ωt−α) (mit ω0 = D m/ und δ =r / 2m) Lösung der Differentialgleichung mxɺɺ= −Dx−rxɺ+F0sin(ωt) ist. Berechnen Sie A( )ω und ( )α ω . b) Lösen Sie auch die komplexe Differentialgleichung mzɺɺ= −Dz−rzɺ+F e0 iωt mit dem Ansatz
( )
i t i i t i t
z=A e⋅ ω = A e⋅ ϕ⋅eω = A e⋅ ω+ϕ und überzeugen Sie sich, dass man auf diese Art A( )ω und ( )ϕ ω viel schneller erhält als oben.
c) Zeigen Sie, dass die Resonanzfrequenz ωresbei der erzwungenen Schwingung mit Dämpfung ωres = ω02 −2δ2 ist. Berechnen Sie auch die Amplitude A(ωres)bei der Resonanzfrequenz.
Hinweis: Einfache Rechenregeln für komplexe Zahlen: i2 = -1; eix = cos x + i sin x; eiπ/2 = i;
(cos sin )
z= z ⋅eiϕ = z ⋅ ϕ+i ϕ ; z* = z ⋅e−iϕ = z ⋅(cosϕ−isin )ϕ ;
* 2 2
Re( ) Im( )
z = z z⋅ = z + z und tanϕ=Im( ) / Re( )z z
Aufgabe 52: (6 Punkte)
In einem Aluminiumblock breitet sich in x-Richtung eine hochfrequente, ebene Transversalwelle aus. Die Teilchenauslenkung u wird, bei vernachlässigbarer Dämpfung, durch die Wellenfunktion u = u0⋅cos ((40 m-1)⋅x - (1,26⋅105 s-1)⋅t) beschrieben.
a) Welche Frequenz ν und welche Wellenlänge λ hat diese Welle?
b) Welche Phasengeschwindigkeit vPh hat die Welle und wie groß ist der Schermodul G des Werkstoffes?
c) Die Schallwelle erfährt bei ihrer Ausbreitung eine schwache Dämpfung. Wie muss die obige Wellenfunktion allgemein ergänzt werden, um dies zu berücksichtigen? Welchen Wert hat der dabei auftretende Dämpfungskoeffizient α, wenn die Schallamplitude pro Meter um 1%
abnimmt? Um wie viel % nimmt zugleich die Schallintensität I ab? Hinweis: I ∝ Energiedichte d) Was müsste man an der Wellenfunktion oben ändern, damit die Welle nicht in die positive x-
Richtung sondern in die negative x-Richtung läuft? Begründen Sie Ihre Antwort.
Zahlenwert: Dichte von Aluminium: ρ = 2,73⋅103 kg/m3
Aufgabe 53 (4 Punkte)
Eine Orgelpfeife ist 0,5 m lang. Welche Frequenzen haben ihre tiefste akustische Eigenschwingung (Grundton) und der erste Oberton, wenn
a) beide Seiten offen sind, oder
b) eine Seite offen und das andere Ende geschlossen ist?
c) Wie groß sind der Grundton und der erste Oberton bei einem Stahlstab der gleichen Länge (beide Seiten offen)?
Hinweis: Rechnen Sie erst allgemein und setzten erst dann Zahlenwerte ein.
Schallgeschwindigkeiten: von Luft: cL = 344 m/s und von Stahl cST = 5100 m/s (bei 20°C).
