Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 4.7) lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung

4.7) lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Lineare DGL n-ter Ordnung

n

X

k=0

f_k(x) · y^(k) = g(x) (1)

g(x) = 0: homogen; g(x) 6= 0: inhomogen.

• allgemeine L¨osung der homogenen DGL darstellbar als Linearkombination von n linear un- abh¨angigen, partikul¨aren L¨osungen:

y_ah =

n

X

k=1

c_k · y_ph,k (2)

Die c₁, c₂, . . . , c_n sind die notwendigen n freien Parameter.

• f¨ur die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL gilt:

y_ai = y_ah + y_pi (3)

• Ist eine partikul¨are L¨osung y_ph,1 der homogenen Differentialgleichung bekannt, l¨aßt sich die Ordnung der Differentialgleichung um eins reduzieren mit dem Ansatz

y = u · y_ph,1 (4)

Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

n

X

k=0

f_k(x) · y^(k) = g(x) (5)

wird bei f_k(x) = const. = f_k zu

n

X

k=0

f_k · y^(k) = g(x) (6)

• die obigen S¨atze gelten weiterhin;

• aber die m¨oglichen L¨osungsstrategien ¨andern sich, in Richtung – einfacher

– umfassender (auch DGLs hoher Ordnung l¨osbar)

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homogene DGL: Euler-Ansatz

y = e^λx, , y⁰ = λ e^λx , . . . , y^(k) = λ^k e^λx (7) Einsetzen in die Differentialgleichung Pn

k=0 f_k · y^(k) = 0 liefert ( _n

X

k=0

f_kλ^k )

e^λx = 0 (8)

Dies wird erf¨ullt, wenn das charakteristische Polynom Null ist:

n

X

k=0

f_kλ^k = 0 (9)

Fundamentalsatz der Algebra ⇒ genau n Nullstellen λ_i (ggf. z.T. zusammenfallend oder kom- plex) ⇒ Faktorisierung des Polynoms:

( _n X

k=0

f_kλ^k )

e^λx = (λ − λ₁)(λ − λ₂)· · · (λ − λ_n)e^λx = 0 (10)

homogene DGL: Euler-Ansatz

Jedes einzelne λ_i steht f¨ur eine partikul¨are L¨osung der urspr¨unglichen DGL:

y_ph,i = e^λix (11)

Die Summe aller n partikul¨aren L¨osungen ist die allgemeine L¨osung:

y_ah =

n

X

k=1

c_ky_ph,k =

n

X

k=1

c_ke^λkx (12)

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Beispiel 1: homogene DGL, Euler-Ansatz

y⁰⁰ − 3y⁰ + 2y = 0 (13)

Diagnose: lineare, homogene, gew¨ohnliche DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Euler-Ansatz liefert das charakteristische Polynom:

λ² − 3λ + 2 = 0 (14)

mit den L¨osungen:

λ_1,2 = 3 2 ±

r9

4 − 8

4 = 3

2 ± 1

2 , λ₁ = 1, λ₂ = 2 (15)

Also ist dies die allgemeine L¨osung:

y_ah = c₁e^x + c₂e^2x (16)

Test: sowohl e^x als auch e^2x als auch deren allgemeine Summe erf¨ullt die urspr¨ungliche DGL.

Euler-Ansatz, entartete Nullstellen

Ist λ₀ eine m-fache Nullstelle des charateristischen Polynoms, so sind zus¨atzlich zu exp(λ0x) auch noch die Funktionen x^j exp(λ₀x) f¨ur alle 0 < j < m ebenfalls L¨osungen.

Beispiel 2: homogene DGL, Euler-Ansatz

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = 0 (17)

Euler-Ansatz → charakteristisches Polynom:

λ² + 2λ + 1 = 0 ⇒ λ_1,2 = −1 (18)

Doppelte Nullstelle; dann ist dies die allgemeine L¨osung:

y_ah = c₁e^−x + c₂xe^−x (19)

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Euler-Ansatz, komplexe Nullstellen

Fundamentalsatz der Algebra ⇒ komplexe Nullstellen treten immer als konjugiert-komplexe Paare auf; ist λ₀ = a + ib eine Nullstelle, dann auch λ^∗₀ = a − ib; notierbar als komplexe Exponentialfunktionen oder per e^ix = cos(x) + i sin(x) mit reellen sin/cos-Funktionen:

c₁e^(a+ib)x + c₂e^(a−ib)x = c₁e^ax(cos(bx) + isin(bx)) + c₂e^ax(cos(bx) − i sin(bx)) (20)

= (c₁ + c₂)e^ax cos(bx) + i(c₁ − c₂)e^ax sin(bx) (21)

= ˜c₁e^ax cos(bx) + ˜c₂e^ax sin(bx) (22)

Beispiel 3: homogene DGL, Euler-Ansatz

y⁰⁰ + y = 0 (23)

Euler-Ansatz → charakteristisches Polynom:

λ² + 1 = 0 ⇒ λ_1,2 = ±√

−1 = ±i (24)

Die allgemeine L¨osung kann geschrieben werden als (a = 0, b = 1):

y_ah = c₁e^ix + c₂e^−ix = ˜c₁cos(x) + ˜c₂sin(x) (25)

inhomogene DGL: St¨orglied-Ansatz

y_ai = y_ah + y_pi (26)

St¨orgliedansatz f¨ur y_pi:

Linearkombination der Inhomogenit¨at g(x) und aller(!) ihrer Ableitungen, z.B.:

St¨orglied St¨orgliedansatz y_pi = · · ·

Potenz von x xⁿ mit n > 0 Pn

k=0 c_k x^k

Trigonometrische Funktionen sin(ax) und/oder cos(ax) c₁sin(ax) + c₂ cos(ax) Hyperbolische Funktionen sinh(ax) und/oder cosh(ax) c₁sinh(ax) + c₂ cosh(ax)

Exponentialfunktion exp(ax) c₁exp(ax)

St¨orgliedansatz nicht m¨oglich, wenn g(x) unendlich viele, verschiedene Ableitungen hat, wie z.B. tan(x), ln(x), u.¨a.

Dann alternativer y_pi-Bestimmungsweg: Variation der Konstanten.

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Beispiel 1.2: inhomogene DGL, St¨orgliedansatz

y⁰⁰ − 3y⁰ + 2y = 1 s.o: y_ah = c₁e^x + c₂e^2x (27) St¨orgliedansatz f¨ur y_pi:

y = c · 1 = c denn: y⁰ = 0 = y⁽ⁿ⁾ , n > 0 (28) in inhomogene DGL einsetzen:

0 − 0 + 2c = 1 ⇒ c = 1

2 ⇒ y_pi = 1

2 (29)

Als allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL ergibt sich damit:

y_ai = y_ah + y_pi = c₁e^x + c₂e^2x + 1

2 (30)

Test: einsetzen.

Beispiel 2.2: inhomogene DGL, St¨orgliedansatz

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = 4e^x s.o: y_ah = c₁e^−x + c₂xe^−x (31) St¨orgliedansatz f¨ur y_pi:

y = ce^x (= y⁽ⁿ⁾) (32)

in inhomogene DGL einsetzen:

ce^x + 2ce^x + ce^x = 4ce^x = 4e^x ⇒ c = 1 ⇒ y_pi = e^x (33) Als allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL ergibt sich damit:

y_ai = y_ah + y_pi = c₁e^−x + c₂xe^−x + e^x (34)

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Beispiel 2.2: inhomogene DGL, Variation der Konstanten

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = 4e^x s.o: y_ah = c₁e^−x + c₂xe^−x (35) Alternative zur y_pi-Bestimmung: Variation der Konstanten. W¨ahle c₁ = c₁(x) und c₂ = 0 (andersrum auch m¨oglich, aber hier schwieriger)

y = c₁(x)e^−x , y⁰ = c⁰₁(x)e^−x − c₁(x)e^−x (36) y⁰⁰ = c⁰⁰₁(x)e^−x − 2c⁰₁(x)e^−x + c₁(x)e^−x (37) in inhomogene DGL einsetzen:

c⁰⁰₁ − 2c⁰₁ + c₁ + 2c⁰₁ − 2c₁ + c₁ = 4e^2x ⇒ c⁰⁰₁ = 4e^2x (38) Zweimalige Integration liefert c₁(x) selbst:

c⁰₁ = 2e^2x + ˜C , c₁ = e^2x + ˜Cx + C˜˜ (39) Enth¨alt bereits zwei freie Parameter ⇒ allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL durch Ein- setzen von c₁(x) in den Variation-der-Konstanten-Ansatz:

y_ai = c₁(x)e^−x = (e^2x + ˜Cx + C˜˜)e^−x (40)

= e^x

|{z}y_pi

+ ˜Cxe^−x + Ce˜˜ ^−x

| {z }

y_ah

(41)

Beispiel 2.3: inhomogene DGL, St¨orgliedansatz

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = 4e^−x s.o: y_ah = c₁e^−x + c₂xe^−x (42) St¨orgliedansatz f¨ur y_pi:

y = ce^−x (43)

in inhomogene DGL einsetzen:

c − 2c + c = 4 ⇒ 0 = 4^? (44)

Widerspruch! Falscher St¨orgliedansatz!

Resonanzfall:

Stimmt ein Summand im y_pi-St¨orgliedansatz mit einem Teil von y_ah uberein, so ist dieser Sum-¨ mand des Ansatzes solange mit x zu multiplizieren, bis das nicht mehr der Fall ist.

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Beispiel 2.3: inhomogene DGL, St¨orgliedansatz

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = 4e^−x s.o: y_ah = c₁e^−x + c₂xe^−x (45) Verbesserter St¨orgliedansatz f¨ur y_pi:

y = cx²e^−x (46)

y⁰ = 2cxe^−x − cx²e^−x , y⁰⁰ = 2ce^−x − 4cxe^−x + cx²e^−x (47) in inhomogene DGL einsetzen:

2c − 4cx + cx² + 4cx − 2cx² + cx² = 4 ⇒ c = 2 ⇒ y_pi = 2x²e^−x (48) Als allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL ergibt sich damit:

y_ai = y_ah + y_pi = c₁e^−x + c₂xe^−x + 2x²e^−x (49)