Riikheie 3. Tei

(1)

3.Teil

Prof.ErikaHausenblas

MontanuniversitätLeoben,Österreih

6.Mai2018

(2)

Denition

EineFunktionL

: [

⁰

, ∞) → [

⁰

, ∞)

^heiÿt^langsam^variierend^(slowly^varying^(at

innity))fallsfürallea

>

^0,^gilt

lim

x

→∞

L

(

^x

)

L

(

^ax

) =

¹

.

Fallsder Grenzwert

lim

x

→∞

L

(

^x

)

L

(

^ax

)

endlih,aberungleiheinsist,heiÿtdieFunktionregulärvariierend(regularly

varyingfuntion).

EineFunktionL

: [

⁰

, ∞) → [

⁰

, ∞)

^heiÿt^langsam^variierend⁽^slowly^varying^(at

innity))mitindex

α

^falls^für^alle^a

>

^0,^gilt

lim

x

→∞

L

(

^x

)

L

(

^ax

) =

^a

^α .

(3)

Satz

Eine VerteilungsfunktionF mitrehtem Endpunktx

R

liegtim

Max-Anziehungsbereih der Frehet-Verteilungmita

>

⁰ ^genau^dann,

wennfolgende zwei Bedingungen erfülltsind:

x

R

= ∞

^;

DieTailfunktion F istregulärvariierendmitIndex

−

^{a ,} ^d.h.

lim

x

→∞

1

−

^F

(λ

^x

)

1

−

^F

(

^x

) = λ ⁻

^a ^für^alle

λ >

⁰

.

Weiters gilt,für

n

=

^F

^← (

¹

−

ⁿ

⁻

¹

) =

^inf

x

∈ R {

^F

(

^x

) ≥

¹

−

ⁿ

⁻

¹

}.

(4)

Theorem

EineVerteilungsfunktionF mitrehtemEndpunktx

R

liegtimMaximalen

Anziehungsbereihder Weibull-Verteilung

Ψ α

^,^dann^und^nur^dann,^wenn^folgende

zweiBedingungenerfülltsind:

x

R

< ∞

^;

DieFunktion1

−

^F

(

^x^R

−

^x

)

^ist^regulär^variierend^mit^Index

α

ⁱⁿ ^0,^d.h.

lim

x

→∞

1

−

^F

(λ(

^xR

−

^x

))

1

−

^F

(

^xR

−

^x

) = λ ^α

^für^alle

λ >

⁰

.

Die Folgen

n undd

n :

Gilt1

−

^F

(

^x^R

−

^x

⁻

¹

) =

^x

⁻ ^α

^L

(

^x

)

^wobei^L^eine^langsamvariierendeFunktionist, dann gilt

−

¹

n

(

^Mn

−

^dn

) →

^d

Φ α .

wobeid

n

=

^xR und

n

=

^x^R

−

^inf

x

∈R {

^F

(

^x

)) ≥

¹

−

ⁿ

⁻

¹

}.

(5)

DerEinzugsbereihderGumbelVerteilungalsExtremwertverteilungläuft vonder

Lognormalverteilung,derExponentialVerteilungmitF

¯ (

^x

) ∼

^e

⁻

^x ^bis^zur

NormalverteilungmitF

¯ (

^x

) ∼ √

¹

2

π

1

t e

−

^t²

/

²

für t

→ ∞

^(Regel^vonl'Hospital).

(6)

¯ (

^x

) ∼

^e

⁻

^x ^bis^zur

¯ (

^x

) ∼ √

¹

2

π

1

t e

−

^t²

/

²

für t

→ ∞

Theorem

R

liegtimMaximal

Anziehungsbereihder Gumbel-VerteilungG

(

^x

) =

^e

⁻

^e

⁻

^x ^genau^dann,^wenn^es

einepositiveundmessbareFunktiong

(

^t

)

^gibt^mit

lim

x

→

^xR

¯

F

(

^x

+

^x^g

(

^x

))

¯

F

(

^x

) =

^e

⁻

^x ^für^alle^x

∈ R.

(7)

¯ (

^x

) ∼

^e

⁻

^x ^bis^zur

¯ (

^x

) ∼ √

¹

2

π

1

t e

−

^t²

/

²

für t

→ ∞

Theorem

R

liegtimMaximal

Anziehungsbereihder Gumbel-VerteilungG

(

^x

) =

^e

⁻

^e

⁻

^x ^genau^dann,^wenn^es

einepositiveundmessbareFunktiong

(

^t

)

^gibt^mit

lim

x

→

^xR

¯

F

(

^x

+

^x^g

(

^x

))

¯

F

(

^x

) =

^e

⁻

^x ^für^alle^x

∈ R.

Remark

x

R

kannendlihoder unendlihsein.

(8)

Heavy tailed

⇒

^Frehet ^Verteilung

Mediumtailed

⇒

^Gumbel ^Verteilung

Light(Short)tailed

⇒

^Weibull

(9)

WihtigistdenTail derVerteilungabzushätzen.

Heavytailed?

ShätzendesTail index.

(10)

(11)

BlokMethode

(12)

BlokMethode

PeakoverThreshold(POT)Methode;

(13)

Denition

DieVerteilungsfunktionderverallgemeinertenParetoverteilungwirddeniert

durh

G

ξ,β,µ (

^x

) = (

1

− (

¹

+ ξ ⁽

^x

⁻ _β ^µ) ) ⁻

¹

^ξ ,

^falls

ξ 6=

⁰

,

1

−

^e

⁻ ⁽

^x

⁻ ^β ^µ) ,

^falls

ξ =

⁰

.

wobei

β >

⁰^und ^x

≥

⁰^im ^Falle

ξ ≥

⁰^gilt^und⁰

≤

^x

≤ − _β ^ξ

^falls

ξ <

⁰^gilt.

(14)

Verhalten im Tail

Für alle

ξ ∈ R

^liegt^eineⁱⁿ^x^R ^stetigeVerteilungsfunktionF inD

(

^H

)

^genau^dann,

wenn

lim

u

→

^x^R

sup

0

<

^x

≤

^x^R

−

^u

^Fu

(

^x

) −

^G

ξ,β(

^u

) (

^x

) =

⁰

für einegeeignetepositive,messbareFunktion

β

^gilt,^wobei

x

R

=

^sup

{

^x

∈ R :

^F

(

^x

) <

¹

}

^den^rehten^Endpunkt^von^F ^bezeihnet.

(15)

(16)

Beispiel 1

SeiX eineexponentialverteilteZufallsvariablemitParameter

λ

^.^Dann ^gilt

lim

u

→∞

sup

0

<

^x

≤∞

^Fu

(

^x

) −

^G0

,

¹

/λ (

^x

) =

⁰

Beispiel 2

SeiX eineZufallsvariableausdenAnziehungsbereihderFrehetverteilungmit

Index

−α

^.^Dann^gilt

lim

u

→∞

sup

0

<

^x

≤∞

^Fu

(

^x

) −

^G1

/α,

^u

/α (

^x

)

=

⁰

(17)

Beispiel 1

SeiX eineexponentialverteilteZufallsvariablemitParameter

λ

^.^Dann ^gilt

lim

u

→∞

sup

0

<

^x

≤∞

^Fu

(

^x

) −

^G0

,

¹

/λ (

^x

) =

⁰

Beispiel 2

SeiX eineZufallsvariableausdenAnziehungsbereihderFrehetverteilungmit

Index

−α

^.^Dann^gilt

lim

u

→∞

sup

0

<

^x

≤∞

^Fu

(

^x

) −

^G1

/α,

^u

/α (

^x

) =

⁰

Beispiel 3

SeiX einestandardnormalverteilteZufallsvariable.Danngilt

(18)

Denition

SeiX eineZufallsvariablemitVerteilungsfunktionF.Die

Exzess-VerteilungsfunktionvonX bzw.F oberhalbdesShwellenwertsuwird

deniertdurh

F

u

(

^x

) = P (

^X

−

^u

≤

^x

|

^X

>

^u

) =

^F

(

^x

+

^u

) −

^F

(

^u

)

1

−

^F

(

^u

)

für x

≥

⁰^und^festes^u

<

^x^R^, ^wobei^x^R

=

^sup

{

^x

∈ R :

^F

(

^x

) <

¹

} ≤ ∞

^den

rehtenEndpunktvonF bezeihnet.

(19)

Aufgabe

Gegeben isteineStihprobe

{

^x¹

, . . . ,

^xⁿ

}

^einerGrundgesamtheitdie

VerteilungsfunktionF hat. ZundenistdieWahrsheinlihkeitvonF

(

^x

)

^für^x

sehrgross(bzw.dasqQuantilfür qnahe1,i.e.y

=

^F

^← (

^q

)

^).

(20)

Aufgabe

{

^x¹

, . . . ,

^xⁿ

}

(

^x

)

^für^x

=

^F

^← (

^q

)

^).

Denition

DieMeanexessfuntion(MeF)einerZufallsvariablenistgegebendurh

e

(

^u

) = E [

^X

−

^u

|

^X

>

^u

] .

(21)

Aufgabe

{

^x¹

, . . . ,

^xⁿ

}

(

^x

)

^für^x

=

^F

^← (

^q

)

^).

Denition

DieMeanexessfuntion(MeF)einerZufallsvariablenistgegebendurh

e

(

^u

) = E [

^X

−

^u

|

^X

>

^u

] .

Aufgabe

BerehnenSiedieMeanExessFunktionderParetoVerteilung.

(22)

Einige Beispiele:

DieMeanExessFunktionderder Exponenti-

alVerteilung(VerallgemeinertenParetoverteilungmit

ξ =

⁰^und

ν =

⁰⁾^lautet

e

(

^u

) =

¹

,

^u

>

⁰

dieMeanExessFunktionderParetoverteilungmit

ξ >

¹^und

ν =

⁰^lautet

e

(

^u

) = _ξ ₋

^u

1

,

^u

>

¹

dieMeanExessFunktionderBeta Verteilunglautet

e

(

^u

) = _ξ ₋

^u

1

, −

¹

≤

^u

≤

⁰

,

dieMeanExessFunktionGumpelVerteilung

e

(

^u

) =

¹

^+ξ

^u

1

− ξ , (

0

<

^u ^falls⁰

≤ ξ <

¹

,

0

<

^u

< −

¹

/ξ,

^falls

ξ <

⁰

.

(23)

Gegeben:

EineStihprobe

{

^X1

, . . . ,

^Xn

}

^.

Emprishe Mean Exess Funktion

Sei

N

u

= #{

ⁱ

:

¹

≤

ⁱ

≤

ⁿ

:

^Xⁱ

>

^u

}

dieAnzahlderÜbershreitungenvonu durhX

i

,i

=

¹

. . .

^{n .}

Dieempirishe durhshnittliheExzessFunktionistgegebendurh

ˆ

e

n

(

^u

) =

¹

N

u n

X

i

=

¹

(

^Xⁱ

−

^u

)

¹

_{

X i

>

^u

} .

Wahl des Shwellenwertes:

u

0

solltesogrossgewähltsein,dassderPlot

(

^en

(

^Xi

),

^Xi

)

^für^u

>

^u0

(24)

Hill Shätzer (

ξ >

^0):

Denition

Sei

{

^X¹

, . . . ,

^Xⁿ

}

^und

{

^X

(

¹

) , . . . ,

^X

(

ⁿ

) }

^die^geordnete^Stihprobe,^d.h.^es^gilt

X

(

ⁱ

−

¹

) ≤

^X

(

ⁱ

)

^für^alleⁱ

=

²

, . . . ,

^{n .}^Dann^ist^der^Hill^Shätzer ^von ¹

_ξ = _α

¹ ^der^k ^ten

Ordnunggegebendurh

H

k

,

ⁿ

:=

¹

k k

X

i

=

¹

log

X

(

ⁱ

)

X

(

^k

+

¹

)

.

(25)

Hill Shätzer (

ξ >

^0):

Denition

Sei

{

^X¹

, . . . ,

^Xⁿ

}

^und

{

^X

(

¹

) , . . . ,

^X

(

ⁿ

) }

^die^geordnete^Stihprobe,^d.h.^es^gilt

X

(

ⁱ

−

¹

) ≤

^X

(

ⁱ

)

^für^alleⁱ

=

²

, . . . ,

^{n .}^Dann^ist^der^Hill^Shätzer ^von ¹

_ξ = _α

¹ ^der^k ^ten

Ordnunggegebendurh

H

k

,

ⁿ

:=

¹

k k

X

i

=

¹

log

X

(

ⁱ

)

X

(

^k

+

¹

)

.

Theorem

Fallsn

→ ∞

^,^k

→ ∞

^und ^k

n

→

^0,^dann^gilt

H

k

,

ⁿ

−→

¹

α .

(26)

Pikands Shätzer

ξ ∈ R

^:

ξ ˆ ⁽

^Pikands

⁾

k

,

ⁿ

:=

1

log

(

²

)

log

X

(

^k

) −

^X

₍

2k

)

X

(

^2k

) −

^X

₍

4k

)

(27)

Dekers Einmal und de Haan Shätzer

ξ ∈ R

^:

ξ ˆ

^DEdH

k

,

ⁿ

:= ξ

^H

⁽

¹

⁾

k

,

ⁿ

+

¹

−

¹

2







1

− ξ ₍

^H

⁽

¹

⁾

k

)

²

ξ

^H

⁽

²

⁾

k

,

ⁿ







−

¹

mit

ξ

^H

⁽

^r

⁾

k

,

ⁿ

= X

¹

k

log

X

(

ⁱ

)

X

(

^k

+

¹

)

^r

,

^r

=

¹

,

²

, . . . .

(28)

Embrehts P,Extremes and Insurane,28 ASTINColloquium1997

Embrehts P,KluppelbergC,and MikoshT,ModellingExtremal

Events, SpringerVerlag, Berlin1997

ReissR, and ThomasM,StatistialAnalysisof ExtremeValues,

Birkhauser, Basel,Boston, 1997

Resnik:Heavy TailedPhenomena (Springer) 2006.

Coles,S(2001):An Introdutionto StatistialModelingof Extreme

Values. SpringerSeriesin Statistis.Springer VerlagLondon.

Beirlant,J; Y.Goegebeur;J. Segers;J. Teugels (2005): Statistisof

Extremes.Theory and Appliations.

Riikheie 3. Tei

: [

, ∞) → [

, ∞)

>

→∞

(

)

(

) =

.

→∞

(

)

(

)

: [

, ∞) → [

, ∞)

α

>

→∞

(

)

(

) =

α .

>

= ∞

−

→∞

−

(λ

)

−

(

) = λ −

λ >

.

=

← (

−

−

) =

∈ R {

(

) ≥

−

−

}.

Ψ α

< ∞

−

(

−

)

α

→∞

−

(λ(

−

))

−

(

−

) = λ α

λ >

.

−

(

−

−

) =

− α

(

)

−

(

−

) →

Riikheie 3. Tei

^α .

) = λ ⁻

^← (

⁻

⁻

) = λ ^α

⁻

⁻ ^α

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻

⁻