Übungen zur Physik I (Mechanik) WS 04/05
5. Übungsblatt, Lösungen 18.11.2004
Bearbeitung bis Mi. 24.11.2004
1/3
1) Bewegung eines „Gleiters“ (2)Die Energie des Systems zum Zeitpunkt 0 (am Ort a) ist
2 0
,
, + = ⋅ ⋅ +
=E E m g l
Ea pota kina (beide Körper in Ruhe)
Wenn sich der Körper
m
1 am Ort b befindet ist die Energie des Systems2 1 2 2 ,
, 2
1 2
0 1m v m v
E E
Eb = potb + kinb = + ⋅ + ⋅ (Beide Körper bewegen sich mit vr )
Aus der Energieerhaltung folgt
E
a= E
b( )
g lm m v m v m m l
g
m ⋅ ⋅
= +
⇔ +
=
⋅
⋅
⇒
2 1 2 2
2 1
2 2
1
für l=100cm und
m
1= 100 ⋅ m
2 folgt s 44m , 0 m s 1 81m , 101 92
2 2
2 ⋅ ⋅ =
= m
v m
2) Kreisbewegung (1 + 1 + 1)
Ansatz kann über die Betrachtung der Energie des Wagens in den Punkten 1, 2, 3, 4 und 5 erfolgen:
0
ˆ 1
1=E +E =m⋅g⋅h +
E pot kin
2 2
2 2
0 1
ˆ m v
E E
E = pot+ kin = + ⋅
2 3 2
3 2
ˆ m g h 1m v E
E
E = pot+ kin = ⋅ ⋅ + ⋅
2 4
4 2
0 1
ˆ m v
E E
E = pot+ kin = + ⋅
∫
⋅+
⋅ +
= +
+
=
l G therm
kin
pot E E m v F dx
E E
0 2 5
5 2
0 1 ˆ
5 4 3 2
1
E E E E
E = = = =
a)
s
3 m , 34 m s 60 81 m , 9 2 ˆ
2
1 24
2
= v = ⋅ g ⋅ h = ⋅ ⋅ =
v
( ) ( )
s 8 m , 19 m 40 s 60
81 m , 9 ˆ 2
2
1 2 23
= ⋅ g ⋅ h − h = ⋅ ⋅ − =
v
b) Gesucht ist hier der Wert der Normalkraft am Punkt 3:
az
m g m
Nr r r
⋅
=
⋅
3+
(
a g)
m
Nr rz r
−
⋅
3 =
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N 5 , s 587 81 m , m 9
20 s 19,8 m
kg 60
ˆ
22 2
3
3
=
−
⋅
=
−
⋅
= g
R m v N
c) v m g h F dx m g dx m G g l
l G l
G = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⇒
=
∫
µ∫
µ0 0
1
!
5 0
m 0,25 240
m ˆ 60
1
= =
=
⇒
G
l h
µ3) (Nicht-) konservative Kraftfelder (3 + 3)
Ein konservatives Kraftfeld liegt vor, Wenn die Arbeit bei der Bewegung eines Massenpunktes auf einem geschlossenen Weg null ist:
= 0
∫ F r ⋅ d r r Nach dem Satz von Stokes ist eine notwendige und hinreichende Bedingung
dafür r r 0 r
=
×
∇ F
.a)
0 1 2
0 0 0
0
0
22
2
r
r r
r ≠
−
=
∂
− ∂
∂
∂ ∂
− ∂
∂
∂ ∂
− ∂
∂
∂
=
×
∇
=
×
∇
x y y
x x y x z
z x y x
y F
Feld a) ist ein nicht konservatives Kraftfeld.
Arbeit die geleistet werden muß um ein Teilchen vom Punkt P1=
( 0 0 0 )
zum Punkt P2=( 2 4 0 )
zu bringen∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ = + + = +
=
20
4
0
0
0
2
0
4
0 2
2
1
dy x dx y dz F dy F dx F r d F
W
x y zP
P
r r
entlang des Weges
y = 2 x
:3 28 3 4 16 12
2 4
4 0 2 3
0
4
0
2 0 2 2
1
2
1
= +
= +
= +
=
= ∫ F d r ∫ xdx ∫ y dy x y
W
P
P
r r
entlang des Weges
y = x
2:3 8 32 3 8 2
3
1
40 2 2
0
4
0
2 0 3 2
2
2
1
= +
= +
= +
=
= ∫ F d r ∫ x dx ∫ ydy x y
W
P
P
r r
b)
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( )
( )
0 1 1
3 3
0
3 2 3 3
2 3
2 3 3
2 2
2
r r r
r =
−
−
=
∂ −
− ∂
∂
∂ ∂
− ∂
∂ −
∂ ∂
− ∂
∂
∂
=
−
×
∇
=
×
∇ x x
y y xz
x x
x x y z xz
z x y x
x x
y xz F
Feld b) ist ein konservatives Kraftfeld.
Es gilt also:
( )
x y zz y
x
e xz y e x e x e
e z e y
F r r x r r r r r r
2
2
3 − − + 3
∂ =
− ∂
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∇
−
=
φ φ φ φKoeffizientenvergleich liefert
1) xz y
x =− +
∂
∂φ 3
2)
x
y =
∂
∂φ
3) 22 3x z =−
∂
∂φ
Integrieren ergibt
1) x z xy f
( )
y,z2 3
1
2 + +
−
= φ
2) φ
= xy + f
2( ) x , z
3) x z f
( )
x,y2 3
3
2 +
−
= φ
Die drei Gleichungen stimmen überein für
( ) ( )
. ,( )
, .2 , 3
, .
, 2 2 3
1 y z const f x z x z const f y z xy const
f = =− + = +
⇒ .
2 3 2
const xy
z x + +
−
= φ
Die Arbeit, die geleistet werden muß um ein Teilchen vom Punkt
( 1 1 1 )
zum Punkt( 2 2 2 )
zu bringen ergibt sich zu∫ ⋅ = − ∫ ∇ ⋅ = − ∫
= F d r
φd r d
φA v r r r
( ) ( )
( )
( )
2 15 2
1 3 , 1 , 1 2 , 2 , 2
2 , 2 , 2
1 , 1 , 1
2
