Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
13. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
1. Zeige:
(a) Jeder Untergruppe einer diskreten mittelbaren Gruppe ist mittelbar.
(b) Ist G eine diskrete Gruppe und N ⊆G ein Normalteiler, dann gilt: G ist mittelbar genau dann, wenn N und G/N mittelbar sind.
(c) Ist G eine diskrete Gruppe und (Gk)k ein monoton wachsendes Netz von mittelbaren Untergruppen mit G = S
kGk, so ist G mittelbar.
(Hinweis: W¨ahle erst f¨ur jedesk ein Mittelmk aufGk und dann einen schwach-∗-H¨aufungspunkt der Zust¨ande f 7→mk(f|Gk) aufl∞(G).) 2. Seien A und B zwei C∗-Algebren und AB ihr algebraisches Tensorpro-
dukt, versehen mit der nat¨urlichen ∗-Algebra-Struktur. Zeige:
(a) Es gibt eine Norm k · ku auf AB mit
kxku = sup{kπ(x)k |C ist eine C∗-Algebra,
π: AB →C ein ∗-Homomorphismus}
f¨ur allex∈AB.
(b) Es gibt genau eine C∗-Algebra-Struktur auf der Vervollst¨andigung A ⊗u B von A B bez¨uglich k · ku, bez¨uglich derer die kanonische Abbildung AB →A⊗uB ein ∗-Homomorphismus ist.
(c) Gilt A = C∗(G) und B = C∗(H) f¨ur diskrete Gruppen H und G, so existiert genau ein Isomorphismus vonC∗-AlgebrenC∗(H)⊗uC∗(G)∼= C∗(H×G) mitλ(x)λ(y)7→λ((x, y)) f¨ur allex∈G,y∈H. (Hinweis:
Benutze die universellen Eigenschaften der jeweiligen C∗-Algebren.) 3. Sei Geine diskrete Gruppe und m: C0(G)→ L(l2(G)) die Multiplikations-
darstellung, gegeben durch
(m(f)ξ)(x) =f(x)ξ(x) f¨ur allef ∈C0(G), ξ∈l2(G), x∈G.
Bestimme f¨ur alle x, y ∈Gden Operator m(δx)λ(y) und zeige:
spanC0(G)Cr∗(G) = K(l2(G)).
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