11. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Prof. Dr. Thomas Timmermann

Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

11. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.

Sei H ein Hilbertraum.

1. Sei u∈ L(H) unit¨ar. Zeige:

(a) Es existiert ein h∈ hui_vN mit exp(ih) =u.

(b) Es existiert eine norm-stetige Abbildung v: [0,1]→ hui_vN mit v(0) = id_H, v(1) =u und v(t) unit¨ar f¨ur alle t∈[0,1].

2. Sei M ⊆ L(H) eine kommutative von-Neumann-Algebra und Ω(M) ihr Spektrum, definiert wie in §1.4. Zeige:

(a) Ist J ⊆ M ein σ-schwach abgeschlossenes Ideal, so ist {χ ∈ Ω(M) | χ|J ≡0} ⊆M gleichzeitig abgeschlossen und offen.

(b) Ist I ⊆ M ein norm-abgeschlossenes Ideal, so ist {x ∈ M | xI = 0}

ein σ-schwach abgeschlossenes Ideal.

(c) Ω(M) ist ein Stone-Raum, d.h. der Abschluss jeder offenen Teilmenge von Ω(M) ist offen. (Hinweis: Benutze (b) und (a).)

3. Sei x∈ L(H) selbstadjungiert und E seine Spektralschar. Zeige:

(a) xist kompakt genau dann, wenn f¨ur jedes >0 die R¨aumeE((−∞,−]∩

σ(x))H und E([,∞)∩σ(x))H endlich-dimensional sind.

(b) F¨ur jedes λ ∈ σ(x) ist E({λ}) die Projektion auf den Teilraum {η ∈ H |xη =λη}.

(c) Ist H unendlich-dimensional und x kompakt, so existieren eine Null- folge (λ_n)_n von Eigenwerten vonx und eine Folge (p_n)_n von paarweise orthogonalen Projektionen von Rang 1 mit x=P

nλ_np_n.

4. Seienx, y ∈ L(H) normal und (x, y)∈ L(H⊕H) gegeben durch (x, y)(η, ξ) = (xη, yξ) f¨ur alle (η, ξ)∈H⊕H. Ferner sei

C_x :=hx,1i_C^∗, C_y :=hy,1i_C^∗, C_x,y :=h(x, y),1i_C^∗. Zeige:

(a) σ((x, y)) =σ(x)∪σ(y).

(b) Istσ(x)∩σ(y) =∅, so existierenf, g∈C(σ(x, y)) mitf((x, y)) = (x,0) und g((x, y)) = (0, y).

1

(c) Enth¨alt σ(x)∩σ(y) ein Element λ, so existieren genau einχ∈Ω(C_x,y) mit χ((x, y)) = λ und genau zweiχ∈Ω(C_x⊕C_y) mit χ((x, y)) =λ.

(d) Es gilt C_x,y =C_x⊕C_y genau dann, wenn σ(x)∩σ(y) =∅.

5. Sei (λ_n)_n eine dichte Folge im Einheitskreis S¹ ⊆ C, sei (ξ_n)n∈Z die kano- nische Basis von l²(Z) und seienx, y ∈ L(l²(Z)) gegeben durchxξ_n=ξ_n+1 und yξ_n=λ_nξ_n f¨ur alle n∈Z. Zeige:

(a) x und y sind unit¨ar undσ(x) =S¹ =σ(y).

(b) h(x, y),1i_C^∗ ∼=C(S¹) und hx,1i_C^∗⊕ hy,1i_C^∗ ∼=C(S¹)⊕C(S¹).

(c) Es gibt kein a ∈ L(H) mitay =xa außera = 0.

(d) h(x, y)i⁰_vN =hxi⁰_vN ⊕ hyi⁰_vN. (e) h(x, y)i_vN =hxi_vN ⊕ hyi_vN.

2