3. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Prof. Dr. Thomas Timmermann

Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

3. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat zwei Seiten und die Aufgaben sind diesmal anspruchsvoller.

1. Sei A eine unitale Banachalgebra und a∈A. Zeige:

(a) F¨ur alleλ∈ρA(a),λ⁰ ∈Cgilt (λ−λ⁰)(λ−a)⁻¹ = 1−(λ⁰−a)(λ−a)⁻¹. (b) F¨ur jedes λ∈C sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:

i. Es gibt eine Folge (λ_n)_n in ρ_A(a) mit λ_n −−−→^n→∞ λ und k(λ_n − a)⁻¹k−−−→ ∞.^n→∞

ii. λ ∈∂σ_A(a) (wobei ∂X den Rand einer Menge X bezeichne).

(c) Ist B eine unitale Banachalgebra undA ,→B eine unitale Einbettung (d.h. ein isometrischer Homomorphismus), so gilt ∂σA(a)⊆∂σB(a).

Nach Satz 1.8 giltσ_B(a)⊆ σ_A(a), und nach (c) kann beim ¨Ubergang von A zu B das Spektrum vonanur dadurch kleiner werden, dass es L¨ocher bekommt.

2. SeiX ein kompakter Raum,V die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von X und I die Menge aller abgeschlossenen Ideale vonC(X).

(a) Zeige: Die folgenden Abbildungen sind zueinander inverse Bijektionen:

I → V, I 7→ \

f∈I

f⁻¹({0}), und V → I, V 7→ {f ∈C(X)|f|_V ≡0}.

(b) Beschreibe den Schnitt und die Vereinigung von Mengen mittels der zugeordneten Ideale.

3. Die Bijektion Ω(A) ∼= Maxm(A) f¨ur eine kommutative Banachalgebra A (Satz 1.38) gilt i.a. nicht f¨ur nichtkommutative Banachalgebren:

(a) Sei B eine Banachalgebra und X ein kompakter Raum. Zeige: Der Raum C(X;B) der stetigen Funktionen von X nach B ist eine Ba- nachalgebra bez¨uglich der punktweise definierten Operationen und der Norm f 7→ kfk:= sup_x∈Xkf(x)k.

(b) Wir betrachtenM₂(C) als Banachalgebra (siehe Beispiel 1.11 vi)) und setzen A:=C([0,1];M₂(C)). Zeige: Ω(A) =∅ und Max_m(A)∼= [0,1].

4. SeiA eine Banachalgebra. Konstruiere direkt eine nat¨urliche Bijektion zwi- schen Max_m(A) und Max_m( ˜A)\ {A}.

5. Beweise die Surjektivit¨at von δX: X → Ω(C0(X)) f¨ur den Fall, dass X lokalkompakt und Hausdorffsch ist (s. Satz 1.33).

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6. Sei A eine kommutative Banachalgebra und f¨ur jede endliche Teilmenge X ⊂A seiU_X :={I ∈Max_m(A)|X *I}. Zeige:

(a) {UX |X ⊂A endlich} ist eine Basis f¨ur eine Topologie auf Maxm(A).

(b) Die Bijektion Ω(A)→Max_m(A), ω7→kerω, ist stetig.

(c) F¨ur A = A(D) ist die Topologie auf Max_m(A) nicht Hausdorffsch und die obige Bijektion kein Hom¨oomorphismus. (Hinweis: Hilft der Identit¨atssatz der Funktionentheorie?)

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