8. ¨Ubung “Operatoralgebren” Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.

Prof. Dr. Thomas Timmermann

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8. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.

Sei A eine C^∗-Algebra.

1. Sei τ eine Spur auf A (d.h. ein positives Funktional mit τ(ab) = τ(ba) f¨ur alle a, b ∈ A) und π: A → L(H) eine zugeh¨orige GNS-Darstellung mit zyklischem Vektorζ. Zeige:

(a) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J: H → H mit J π(a)ζ =π(a)^∗ζ f¨ur alle a∈A.

(b) Es existieren eineC^∗-AlgebraA^opund ein Banachraum-Isomorphismus A → A^op, a 7→ a^op, mit a^op·b^op = (ba)^op und (a^op)^∗ = (a^∗)^op f¨ur alle a, b∈A.

(c) Die Abbildung τ^op: A^op → C, a^op 7→ τ(a), ist eine Spur, und die Ab- bildung π^op: A^op → L(H), a^op 7→ J π(a)^∗J, ist eine GNS-Darstellung f¨urτ^op mit zyklischem Vektor ζ.

(d) F¨ur alle a, b∈A gilt π(a)π^op(b^op) = π^op(b^op)π(a).

2. Sei n ∈ N, ω ein positives Funktional auf der C^∗-Algebra A := M_n(C) undπ:A → L(H) eine zugeh¨orige GNS-Darstellung mit zyklischem Vektor ζ. Wir nehmen an, dass π treu ist, und bezeichnen mit Tr : A → C die normalisierte Spur. Zeige:

(a) Es gibt eine positive invertierbare Matrix δ∈Amit ω(a) = Tr(aδ) f¨ur alle a∈A.

(b) F¨ur jedes t ∈ R ist die Abbildung σ_t: A → A, a 7→ δ^itaδ^−it, ein ∗- Isomorphismus, und f¨ur alle s, t∈R gilt σ_s◦σ_t=σ_st.

(c) F¨ur jedes a ∈A besitzt die Abbildung R→ A, t 7→σ_t(a), genau eine komplex differenzierbare Fortsetzung C→A, z 7→σ_z(a).

(d) Es gilt ω(aa^∗) = ω(σ−i/2(a)^∗σ−i/2(a)) f¨ur alle a∈A.

(e) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J: H → H so, dass die Abbildung π^op: A^op → L(H), a^op 7→ J π(a)^∗J, eine GNS- Darstellung mit zyklischem Vektor ζ f¨ur die Abbildungω^op: A^op→C, a^op7→ω(A), ist.

3. Beweise Folgerung 3.18: Ist A kommutativ, so ist jede irreduzible Darstel- lung von A eindimensional und es gilt Ω(A) =P S(A).

4. Sei π: A→ L(H) eine irreduzible Darstellung. Zeige:

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(a) F¨ur jedes abgeschlossene Ideal I ⊆ A gilt entweder I ⊆ kerπ oder π|_I: I → L(H) ist irreduzibel.

(b) kerπist ein Primideal, d.h. fallsI₁, I₂ ⊆AIdeale sind undI₁I₂ ⊆kerπ, so gilt I₁ ⊆kerπ oderI₂ ⊆kerπ.

5. Sei H ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis (ξ_i)_i∈I. F¨ur jedes i, j ∈ I sei e_ij ∈ K(H) definiert durch e_ijξ_l = ξ_iδ_l,j f¨ur alle l ∈ I. Ferner sei π: K(H)→ L(K) eine irreduzible Darstellung. Zeige:

(a) span{e_ij |i, j ∈I}=K(H).

(b) dimπ(e_ii)K = 1 f¨ur jedes i∈I.

(c) Es existiert ein Unit¨ares U: H → K mit π(x) = U xU^∗ f¨ur alle x ∈ K(H), und dieses Unit¨are U ist eindeutig bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen von Betrag 1.

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