Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
1. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
1. Sei A eine unitale Algebra und a∈Inv(A). Zeige: σA(a−1) =σA(a)−1. 2. Sei A eine Algebra und a ∈A nilpotent, d.h. an = 0 f¨ur ein n ∈ N. Zeige:
Dann ist σA(a) = 0.
3. Sei A eine Algebra und e∈A idempotent, d.h. e2 =e. Zeige:
(a) σA(e) ⊆ {0,1}. (Hinweis: F¨ur λ 6∈ {0,1} hat λ−e ein Inverses der Form λ−1−µemit µ∈C.)
(b) e = 1A falls σA(e) ={1}.
4. Sei A eine Algebra und a, b∈A. Zeige:
(a) Hat 1−abein Inverses c∈A, so hat 1−ba das Inverse 1 +bca.
(b) σA(ab)∪ {0}=σA(ba)∪ {0}.
5. Sei A eine unitale Algebra und ˜A ihre Unitalisierung.
(a) Zeige: (1,−1A)2 = (1,−1A) und (1,−1A)(0, a) = 0 in ˜Af¨ur allea∈A.
(b) Sei B = C⊕A als Algebra, d.h. in B gilt (λ, a)(µ, b) = (λµ, ab) f¨ur alle λ, µ∈C und a, b∈A. Zeige: ˜A∼=B als Algebren.
6. Sei A eine Algebra und a ∈ A. Zeige: σA(a)∪ {0} = σA˜(a). (Hinweis:
Fallunterscheidung nach Unitalit¨at vonA).
7. Sei (X, µ) ein Maßraum (z.B. X = [0,1] und µ = Lebesgue-Maß) und A=L∞(X, µ). Zeige: F¨ur jedes a∈A ist
ρA(a) ={λ∈C| ∃:|λ−a(x)|> f¨urµ-fast allex∈X}.
8. Sei A eine Banachalgebra. Zeige: Die Unitalisierung ˜A, versehen mit der durch k(λ, a)k := |λ|+ kak (λ ∈ C, a ∈ A) definierten Norm, ist eine Banachalgebra.
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