Prof. Dr. Thomas Timmermann
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4. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
Sei A eine C∗-Algebra
1. Sei a ∈ A. Zeige: F¨ur jedes > 0 existiert ein δ > 0 so, dass f¨ur jedes Element b∈A mit kb−ak< δ gilt, dass σ(b) in der -Umgebung von σ(a) liegt (d.h. f¨ur alle λ∈σ(b) existiert ein µ∈σ(a) mit |λ−µ|< ).
2. IstAkommutativ und unital und sinda1, . . . , an∈A, so istha1, . . . , an,1AiC∗
∗-isomorph zuC(Ω) f¨ur eine kompakte Teilmenge Ω⊆Cn. 3. Sei X ein kompakter Raum. Zeige:
(a) C(X) ist separabel (d.h. besitzt eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge) genau dann, wenn die Topologie von X eine abz¨ahlbare Basis besitzt.
(b) C(X) = span{p ∈ C(X) | p Projektion} genau dann, wenn X total unzusammenh¨angend ist (d.h. keine nichttriviale zusammenh¨angende Teilmenge besitzt).
4. Sei X ein kompakter Raum und x0 ∈ X. Sei B = {(fn)n∈N | fn ∈ C(X) und (fn(x0))n konvergiert}. VerseheB mit der (nat¨urlichen) Struktur einer C∗-Algebra und beschreibe das Spektrum vonB.
5. Sei A unital. Zeige:
(a) F¨ur jedes a∈Asa ist exp(ia) unit¨ar.
(b) Ist u ∈ A unit¨ar und σ(u) nicht der gesamte Einheitskreis in C, so existiert ein a∈Asa mit exp(ia) = u.
(c) Es existiert eine unitale C∗-Algebra B mit einem Unit¨aren u ∈B so, dass u6= exp(ib) f¨ur alle b ∈Bsa.
6. Sei f ∈ C(R) eine monoton wachsende Funktion und seien a, b ∈ Asa mit ab=ba und a≤b. Zeige: f(a)≤f(b).
7. Sei A unital. Zeige: Jedes Element von A kann als Linearkombination von vier unit¨aren Elementen geschrieben werden. (Hinweis: L¨ose das Problem zun¨achst f¨ur alle a∈Asa mit kak<1.)
8. Gibt es eine C∗-AlgebraA mit Elementen a, b∈A+, die ab6∈A+ erf¨ullen?
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