6. ¨Ubung “Operatoralgebren”

Prof. Dr. Thomas Timmermann

Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

6. ¨ Ubung “Operatoralgebren”

Achtung: (a) Das Blatt hat 2 Seiten. (b) Bitte nicht vom langen Text vor den Aufgaben 4-7 abschrecken lassen — vieles davon ist eine einfache Erweiterung des

Vorlesungsstoffes.

1. Zeige: Die Algebra A={(a_ij)_i,j ∈M_n(C)|a_ij = 0 f¨ur i≥j} ⊂M_n(C) der strikt oberen Dreiecksmatrizen hat bzgl. keiner Norm eine approximative Eins.

2. Beweise Aussage ii) von Satz 2.40.

Sei A eine C^∗-Algebra. Ein Hilbert-C^∗-Modul ¨uber A ist ein Banachraum E mit einer sesquilinearen Abbildung E×E → A, (ξ, η)7→ hξ|ηi, und einer bilinearen Abbildung E×A→E, (ξ, a)7→ξa, die folgende Bedingungen erf¨ullen:

hξ|ηi^∗ =hη|ξi, hξ|ηai=hξ|ηia, kξk² =khξ|ξik, hξ|ξi ≥0 f¨ur alle ξ, η ∈E und a∈A.

F¨ur die Bearbeitung einiger Teilaufgaben wird die folgende Cauchy-Schwarz-Un- gleichung ben¨otigt:khξ|ηik² ≤ kξk²kηk² f¨ur alleξ, η∈E. Leider k¨onnen wir diese mit den bisherigen Mitteln noch nicht beweisen.

SeienE, F Hilbert-C^∗-Module ¨uberA. Zwei AbbildungenT: E →F undS: F → E heißen adjungiert, fallshξ|T ηi_F =hSξ|ηi_E f¨ur alleξ ∈F,η ∈E. Wir bezeich- nen mit L_A(E, F) die Menge der Abbildungen von E nach F, zu denen eine adjungierte Abbildung von F nach E existiert, und setzenL_A(E) :=L_A(E, E).

4. Zeige:

(a) (ξa)b=ξ(ab) f¨ur alle ξ∈E, a, b∈A.

(b) lim_νξu_ν =ξ f¨ur jede approximative Eins (u_ν)_ν von A und alle ξ ∈E.

(c) Jedes abgeschlossene Linksideal von A ist in nat¨urlicher Weise ein Hilbert-C^∗-Modul ¨uber A.

5. ¨Ubertrage Theorem 2.38 ii), iii) von M(A) auf L_A(E, F) und zeige, dass L_A(E) in nat¨urlicher Weise eine C^∗-Algebra und L_A(E, F) in nat¨urlicher Weise ein Hilbert-C^∗-Modul ¨uberL_A(E) ist.

6. (a) Zeige: F¨ur alleξ∈F, η ∈Esind die folgenden Abbildungen adjungiert:

|ξihη|: E →F, ζ 7→ξhη|ζi, und |ηihξ|: F →E, ζ 7→ηhξ|ζi.

Sei KA(E, F) := span{|ξihη|:ξ∈F, η ∈E}. Zeige:

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(b) L_A(F)K_A(E, F)L_A(E) = K_A(E, F); insbesondere istK_A(E) := K_A(E, E) ein abgeschlossenes Ideal in L_A(E).

(c) L_A(A) = M(A) und K_A(A) = L(A)≡A.

(d) F¨ur jedes ξ ∈ E ist die Abbildung L_ξ: A → E, a 7→ ξa, ein Element von L_A(A, E), und K_A(A, E) ={L_ξ |ξ∈E}.

7. Sei E ein Hilbert-C^∗-Modul ¨uberC(X), wobei X ein kompakter Raum ist.

Konstruiere eine Familie von Hilbertr¨aumen (E_x)x∈X und eine Einbettung j: E →Q

x∈X E_x. (Hinweis:Betrachte f¨ur jedesx∈Xdie Sesquilinearform E×E →C, (ξ, η)7→ hξ|ηi(x).)

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