Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
10. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
Seien H, K Hilbertr¨aume und M ⊆ L(H) eine von-Neumann-Algebra.
1. Zeige: Ein∗-Homomorphismusπ: M → L(K) ist normal, d.h. stetig bez¨ug- lich derσ-schwachen Topologien, genau dann, wenn ω◦π σ-schwach stetig ist f¨ur jedes ω∈ L(K)∗.
2. Zeige, dass die folgenden ∗-Homomorphismen normal sind:
(a) die Amplifikation diag : M → L(HN), x7→diag(x);
(b) die Reduktion M → L(K), x 7→ x|K, falls K ⊆ H ein M-invarianter abgeschlossener Unterraum ist;
(c) die unit¨are Transformation AdU: M → L(K), x 7→ U xU∗, wobei U: H →K unit¨ar ist.
3. Sei (ξn)n eine Orthonormalbasis von H und x∈L1(H). Zeige:
(a) Die Reihe P
ntξn,ξn konvergiert σ-stark gegen idH. (b) P
nhξn|xξni= Tr(x).
(c) L1(H)⊆ L(H) ist ein zweiseitiges Ideal.
(d) Tr(x∗x) = Tr(xx∗). (Hinweis: Benutze die Polarzerlegung von x.)
Frohe Weihnachten und ein gesundes neues Jahr!
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