Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
2. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
1. Sei A eine Algebra und a ∈A. Zeige: Ra(λ)−Ra(µ) = (µ−λ)Ra(µ)Ra(λ) f¨ur alle λ, µ∈ρA(a).
2. Sei C[[X]] die Algebra der formalen Potenzreihen P∞
n=0anXn (wobei a0, a1, . . . ∈C) mit der Multiplikation
X∞
n=0
anXnX∞
n=0
bnXn
=
∞
X
n=0
Xn
k=0
akbn−k
Xn.
EinGewicht aufN ist eine Abbildung ω: N→(0,∞) mit
ω(0) = 1 und ω(m+n)≤ω(m)ω(n) f¨ur allem, n∈N. (a) Nenne Beispiele von Gewichten.
(b) Zeige: f¨ur jedes Gewichtω ist die Menge l1(ω) :=nX∞
n=0
anXn
∞
X
n=0
ω(n)|an|<∞o
⊂C[[X]]
eine Unteralgebra und eine Banachalgebra bez¨uglich einer nat¨urlichen Norm (welcher?).
3. Zeige: Der Raum C(n)([0,1]) = {f ∈ C([0,1]) | f ist n-mal stetig differen- zierbar auf (0,1) undf(1), . . . , f(n) sind stetig auf [0,1] fortsetzbar}ist eine Algebra bez¨uglich der punktweisen Operationen und eine Banachalgebra bez¨uglich der Norm
kfkn =
n
X
k=0
1
k!kf(k)k∞ (f ∈C(n)([0,1])).
4. Sei A eine Algebra mit einer Norm, bez¨uglich derer A vollst¨andig und die Multiplikation A×A→A, (a, b)7→ab, stetig ist. Zeige:
(a) F¨ur jedes a ∈ A ist die Abbildung La: ˜A → A, ˜˜ b 7→ a˜b, beschr¨ankt bez¨uglich der durch k(λ, a)k:=|λ|+kak definierten Norm auf ˜A.
(b) Die Zuordnung kakL:=kLak (a∈A) definiert eine Norm auf A.
(c) (A,k · kL) ist eine Banachalgebra.
(d) Hat A eine Eins, so ist (A,k · kL) eine unitale Banachalgebra.
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Bemerkung: Der Homomorphismus A → L( ˜A), a 7→ La, heißt die regul¨are Darstellung von A. Ist A unital, so kann manA statt ˜A verwenden.
5. Sei A eine unitale Banachalgebra und rad(A) der Schnitt aller maximalen Linksideale von A. Zeige:
(a) Ist I ⊆ A ein maximales Linksideal und a 6∈ I, so existiert ein b ∈ A mit 1A−ba∈I.
(b) rad(A) ={a∈A |1A−ba∈Inv(A) f¨ur alle b∈A}.
(c) F¨ur jedes a∈rad(A) gilt σA(a) ={0} (d.h. a istquasi-nilpotent).
(d) Bestimme rad(A) f¨ur A=Mn(C) und A ={a ∈Mn(C)| aij = 0 falls i < j} ⊂Mn(C) (n∈N).
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