Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
12. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
Sei H ein Hilbertraum und M ⊆ L(H) ein Faktor.
1. Sei M vom Typ I. Zeige:
(a) Sind p, q ∈ M minimale Projektionen, so sind p und q zueinander
¨aquivalent und pM q hat Dimension 1.
(b) F¨ur jede Projektion p in M existiert eine Familie paarweise orthogo- naler minimaler Projektionen (pν)ν mit P
νpν =p. (Hinweis: Lemma von Zorn und Vergleichbarkeitssatz.)
(c) Es existiert eine Indexmenge I und eine Familie partieller Isometrien (vµν)µ,ν∈I, deren lineare H¨ulle in M σ-schwach dicht ist und die f¨ur alle µ, ν, κ, λ∈I folgende Bedingungen erf¨ullt:
vµν∗ =vνµ, vµνvκλ=δν,κvµλ, X
ν
vνν = 1M.
(Hinweis: Wende (b) auf p= 1 an und verwende dann (a).)
(d) M ∼= L(l2(I)). (Hinweis: Bette l2(I) in H als M-invarianten Unter- raum ein.)
(e) Konstruiere eine Dimensionsfunktion auf M.
2. Sei M vom Typ II und sei p∈M eine Projektion. Zeige:
(a) Es gibt ¨aquivalente orthogonale Projektionen p1, p2 mit p = p1+p2. (Hinweis: Sei (pν,i)i=1,2ν eine maximale Familie paarweise orthogonaler Projektionen mit p ≥ pν,1 ∼ pν,2 ≤ p f¨ur alle ν. Ist q := p−P
ν,ipν,i nicht 0, so existiert eine Projektion q0 < q mit q0 6= 0 und q−q0 q0 oder q0 q−q0.)
(b) F¨ur jedesnexistiert eine Familie paarweise ¨aquivalenter und paarweise orthogonaler Projektionen (pk)2k=1n mit P2n
k=1pk =p.
(c) Ist d eine Dimensionsfunktion auf M, so istd(M) = [0, d(1M)]. (Hin- weis: Beachte, dass 1M nicht unbedingt endlich ist.)
3. Sei M vom Typ III und seien p, q ∈M \ {0} Projektionen. Zeige:
(a) Ist p∼q+r f¨ur eine zu q orthogonale Projektion r ∈M, so existiert eine Projektion r0 ∈M mit r0 < r und p∼q+r0.
(b) p∼q. (Hinweis: Verwende (a) und das Lemma von Zorn.)
1
