Prof. Dr. Thomas Timmermann
Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de
5. ¨ Ubung “Operatoralgebren”
Sei A eine C∗-Algebra.
1. Sei H ein Hilbertraum und seienp, q ∈ L(H) Projektionen. Zeige:p≤q ⇔ pH ⊆qH.
2. Seiena, b∈Asaundab=ba. Zeige:σ(a+b)⊆σ(a)+σ(b),σ(ab)⊆σ(a)σ(b).
3. Zeige: F¨ur alle a, b∈A+ gilt σ(ab)⊆[0,∞).
(Hinweis:Schreibe a =x∗x, b=y∗y mit x, y ∈A; benutze ¨Ubungsblatt 1.) 4. Zeige: F¨ur jedes a∈A+ existiert genau ein b∈A+ mit b2 =a.
(Bemerkung: Dieses Elementb wird mit a1/2 bezeichnet.) 5. Sei a∈A normal und |a|= (a∗a)1/2. Zeige:
(a) Ist a ∈Asa, so ist |a|=a++a−.
(b) Ist a ∈Inv(A), so existiert genau ein unit¨ares u∈A mit a=u|a|.
(c) Es gibt eineC∗-AlgebraB mit einem normalen Elementb∈B so, dass kein unit¨ares v ∈B mit b =v|b| existiert.
(Hinweis: Versuche B =C(T), wobei T={z ∈C:|c|= 1}.) 6. Sei a∈Inv(A). Zeige: kak= 1 =ka−1k ⇔a unit¨ar.
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