ist eine Linearkombination von Monomen:

(1)

Multivariate Polynome

Ein Polynom p in n Variablen x

₁

, . . . , x

_n

ist eine Linearkombination von Monomen:

p(x) = X

α

a

α

x

^α

, x

^α

= x

₁^α¹

· · · x

_n^αⁿ

, mit α

_k

∈ N

0

.

Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen totalem Grad ≤ m: P

α = α

1

+ · · · + α

n

≤ m;

maximalem Grad ≤ m: max α = max

_k

α

_k

≤ m.

F¨ ur bivariate und trivariate Polynome bezeichnet man die Variablen meist mit x, y bzw. x , y, z . Beispielsweise bilden die Monome

(x, y) 7→ x

^j

y

^k

, j , k ≥ 0, j + k ≤ m

(2)

eine Basis f¨ ur die bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m, und eine Basis f¨ ur die trivariaten Polynome mit maximalen Grad ≤ m besteht aus den Monomen

(x, y, z ) 7→ x

^j

y

^k

z

^`

, 0 ≤ j , k , ` ≤ m .

Man bezeichnet ein n-variates Polynom p als homogen vom Grad k, wenn p(sx) = s

^k

p(x) f¨ ur s ∈ R .

Ein solches Polynom ist eine Linearkombination der Monome x 7→ x

^α

mit P α = k.

Die Dimensionen der drei n-variaten Polynomr¨ aume entsprechen den Anzahlen der relevanten Monome:

homogen vom Grad k totaler Grad ≤ m maximaler Grad ≤ m k + n − 1

n − 1

m + n

n

(m + 1)

ⁿ

.

(3)

Beweis

(i) Bivariate Polynome (n = 2):

Auflistung der homogenen Monome

k = 0 : 1

k = 1 : x, y

k = 2 : x

²

, xy , y

²

k = 3 : x

³

, x

²

y , y

²

x, y

³

. . . ,

Anzahl k + 1 =

^k+2−1₂₋₁

f¨ ur Grad k

Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:

1 + 2 + · · · + (m + 1) = (m + 2)(m + 1)

2 =

m + 2 2

(m + 1)

²

Monome vom maximalen Grad ≤ m

x

^j

y

^k

, j, k ≤ m

(4)

(ii) Homogene n-variate Polynome vom Grad k:

identifiziere den Exponent

(α

1

, . . . , α

n

), α

1

+ · · · + α

n

= k eines relevanten Monoms mit einer strikt monotonen Folge

β

1

= α

1

+ 1 β

₂

= α

₁

+ α

₂

+ 2 . . .

β

n−1

= α

1

+ · · · + α

n−1

+ (n − 1) aus {1, . . . , k + n − 1}, d.h.

α

j

= β

j

− β

j−1

− 1 mit β

0

= 0, β

n

= k + n

k+n−1 n−1

M¨ oglichkeiten

(5)

(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:

⇐⇒ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:

x

₁^α¹

· · · x

_n^αⁿ

⇐⇒ x

₁^α¹

· · · x

_n^αⁿ

x

^m−

Pαi

n+1

(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension des Polynomraums

m + (n + 1) − 1 (n + 1) − 1

(iv) n-variate Polynome vom maximalen Grad ≤ m:

Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)

ⁿ

Monome x 7→ x

^α

mit

0 ≤ α

_j

≤ m.

(6)

Beispiel

Verschiedene bi- und trivariate Polynome bivariates Polynom mit totalen Grad ≤ 3

p(x, y) = a

_0,0

+ (a

_1,0

x + a

_0,1

y) + (a

_2,0

x

²

+ a

_1,1

xy + a

_0,2

y

²

) +(a

_3,0

x

³

+ a

_2,1

x

²

y + a

_1,2

xy

²

+ a

_0,3

y

³

) bzw. p(x

1

, x

2

) = P

α1+α2≤3

a

α

x

₁^α¹

x

₂^α²

spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5 (x, y) 7→ p(x, y) = 7x

⁵

− 8x

³

y

²

+ 6xy

⁴

bzw. p(x

1

, x

2

) = 7x

^(5,0)

− 8x

^(3,2)

+ 6x

^(1,4)

trivariates Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:

p (x, y , z) = a

0,0,0

+ (a

1,0,0

x + a

0,1,0

y + a

0,0,1

z )

+(a

1,1,0

xy + a

1,0,1

xz + a

0,1,1

yz) + a

1,1,1

xyz