37. Es sei > die Termordnung > grevlex auf den Monomen in k[x 1 , . . . , x n ]. Bestimmen Sie die zugeh¨ orige homogenisierte Termordung > h im Sinne von Definition 9.10 auf den Monomen in k[x 0 , x 1 , . . . , x n ].

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 11.07.2018 Blatt 13

Ubungen zu Gr¨ ¨ obner-Basen

37. Es sei > die Termordnung > _grevlex auf den Monomen in k[x ₁ , . . . , x _n ]. Bestimmen Sie die zugeh¨ orige homogenisierte Termordung > h im Sinne von Definition 9.10 auf den Monomen in k[x ₀ , x ₁ , . . . , x _n ].

38. (Eulersche Formel) Es sei k ein K¨ orper und es sei f ∈ k[x 0 , x 1 , . . . , x n ] homo- gen vom Totalgrad m. Mit _∂x ^∂f

j

werden die formalen partiellen Ableitungen von f bezeichnet. Zeigen Sie

n

X

j=0

x _j ∂f

∂x _j = mf.

39. In C [x ₁ , x ₂ , x ₃ ] seien die Polynome

f 1 = x 1 x 2 − 1 und f 2 = x 2 x 3 + 1

gegeben. Bestimmen Sie die Homogenisierungen f ₁ ^h und f ₂ ^h und zeigen Sie, dass die zugeh¨ orige projektive Variet¨ at

W := n

[x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ] ∈ P ³ ( C )

f ₁ ^h (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = f ₂ ^h (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = 0 o eine irreduzible Komponente besitzt, welche nur unendlich ferne Punkte enth¨ alt.

Hinweis: Bestimmen Sie eine Gr¨ obnerbasis von hf ₁ , f ₂ i zu einer geeigneten Term- ordnung.

Wir machen in der letzten Woche noch Theorie hierzu, diese Aufgabe ist aber bereits jetzt ad hoc l¨ osbar.

Besprechung: 18. Juli