Ubungsaufgaben Geometrie WS 2009/2010 ¨ 8. Serie
8.1 Einem Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r > 0 sei ein Trapez (ABCD) mit ABkCD derart umbeschrieben, dass jede Tra- pezseite den Kreis k ber¨uhrt ((ABCD) ist ein Tangentenviereck). Beweisen Sie, dass der Winkel
∠)(BM C) ein rechter Winkel ist.
8.2 Beweisen Sie: In der euklidischen Ebene schneiden sich die Außenwinkelhalbierenden zweier Eckpunk- te (etwa A und C) und die Innenwinkelhalbieren- de des dritten Eckpunktes (dannB) eines Dreiecks
4(ABC) in einem Punkt M.
M ist Mittelpunkt eines Kreises, der alle drei Seiten des Dreiecks (innen oder außen) ber¨uhrt und Ankreis des Dreiecks genannt wird.
8.3 In einem rechtwinkligen Dreieck4(ABC) seiB der Scheitel des rechten Winkels. F¨ur die Katheten gel- teBC < ABund der KreiskumB mit dem Radi- us BC schneide die Hypothenuse außer inC noch im Punkt E. Die Tangente in E an k schneide die Kathete AB inD.
Beweisen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen AD∼=DE, also das Dreieck
4(ADE) gleichschenklig ist.
(Abgabe am 9.12.2009)
