TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2018S
Sommersem. 2018 Blatt 2 (23.04.2018)
Zentral¨ubung
Z2.1. Charakterisierung zusammenh¨angender Teilmengen
Geben Sie unterschiedliche Charakterisierungen zusamenh¨angender und nicht zusammen- h¨angender Mengen im metrischen Raum (M, d) an.
Z2.2. Intervalle sind zusammenh¨angend
Zeigen Sie elementar, dass in R die Intervalle genau die zusammenh¨angenden Mengen sind. (Erinnerung: I ⊆R ist ein Intervall, genau dann, wenn f¨ur alle x, y ∈I mitx ≤y und f¨ur alle z∈Rmitx < z < y schonz∈I folgt.)
Z2.3. Offen und wegzusammenh¨angend
In einem normierten Raum (V,k · k) gilt: Jede offene zusammenh¨angende Teilmenge ist wegzusammenh¨angend.
Z2.4. Lineare Abbildungen sind nicht immer stetig
Wir definieren die Abbildung D : C1([0,1]) → C([0,1]), vom Vektorraum der stetig dif- ferenzierbaren Funktionen auf [0,1] in den Vektorraum der stetigen Funktionen auf [0,1]
durch
(Df)(x) =f0(x).
(a) Zeigen Sie: Dist eine lineare Abbildung.
(b) Mit der Supremumsnorm k · k∞ sind C1([0,1]) undC([0,1]) normierte Vektorr¨aume.
Berechnen Sie f¨urn∈N die Norm vonfn und Dfn mitfn(x) =xn. (c) Zeigen Sie, dass der AbleitungsoperatorD unbeschr¨ankt ist.
(d) Geben Sie eine in (C1([0,1]),k · k∞) konvergente Folge (fn)n∈N an, f¨ur die (Dfn)n∈N
in (C([0,1]),k · k∞) nicht konvergent ist.
Pr¨asenzaufgaben
P2.1. Beispiele f¨ur zusammenh¨angende und unzusammenh¨angende Mengen Man zeige:
(a) [−1,1]\ {0} ⊆R ist nicht zusammenh¨angend.
(b) B1( 10
)∪B1( −10
)⊆R2 ist nicht zusammenh¨angend.
(c) Qist nicht zusammenh¨angend.
(d) R2\ {(0,0)} ist zusammenh¨angend.
(e) C−:=C\(−∞,0] ist zusammenh¨angend.
P2.2. H¨aufungspunkte zerst¨oren den Zusammenhang nicht.
Ist U ⊆ M im metrischen Raum (M, d) zusammenh¨angend, und U ⊆ U˜ ⊆ U. Dann ist auch ˜U zusammenh¨angend.
P2.3. Lokalkonstante Funktionen
Eine Funktionf :M →Rauf einem metrischen Raum (M, d) heißt lokal konstant, wenn es zu jedem x∈M eine Umgebung U von x gibt, auf derf konstant ist.
Zeigen Sie:M ist genau dann zusammenh¨angend, wenn jede aufM lokal konstante Funk- tion auf ganzM konstant ist.
Hausaufgaben
H2.1. Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichm¨aßig stetig
Seien X, Y metrische R¨aume und f :X → Y stetig. Man zeige: Ist X kompakt, so istf sogar gleichm¨aßig stetig. Hinweis:Beweis durch Widerspruch.
H2.2. Vereinigung zusammenh¨angender Mengen
In einem metrischen Raum (M, d) seien A, B ⊆ M zusammenh¨angend mit A∩B 6= ∅.
Dann ist auch A∪B zusammenh¨angend.
H2.3. Die Operatornorm ist submultiplikativ
Seien (X,k · kX), (Y,k · kY) und (Z,k · kZ) normierte R¨aume undB :Y →Z,A:X →Y beschr¨ankte lineare Abbildungen. Zeigen Sie kBAk ≤ kBkkAk.
H2.4. (∗) Nicht jede zusammenh¨angende Menge ist wegzusammenh¨angend.
SeiC ={(0,0)} ∪ {(x,sin1x)⊂R2|x >0}. Man zeige:
(a) C ist zusammenh¨angend.
(b) C ist nicht wegzusammenh¨angend.
Hausaufgabenabgabe: Montag, 7.5.2018, vor Beginn der Zentral¨ubung
