Theoretische Informatik 1 (Bachelor)
Ubungsblatt 13 ¨
(f¨ ur die 4. Kalenderwoche 2008)
zur Vorlesung von Prof. Dr. J. Dassow im Wintersemester 2007/2008
Magdeburg, 14. Januar 2008
1. Was muss man zeigen, um zu beweisen, dass ein ProblemNP-vollst¨andig ist? Welche Optionen gibt es zum Nachweis der Teilbehauptungen?
2. SeienAundB echte, nichtleere Teilmengen vonX∗. Zeigen Sie: FallsAundB in Pliegen, so gilt A α B.
3. SeienAundBSprachen bzw. Probleme, dieNP-vollst¨andig sind. Zeigen Sie, dass dannA α Bgilt.
4. In einem ungerichteten Graphen G = (V, E) heißt eine Knotenmenge V′ ⊆ V vollst¨andig oder Clique, wenn zwischen je zwei verschiedenen Knoten ausV′ eine Kante existiert.
In einem ungerichteten Graphen G= (V, E) heißt eine Knotenmenge V′ ⊆V unabh¨angig, wenn keine Kante zwischen zwei Knoten ausV′ existiert.
In einem ungerichteten GraphenG= (V, E) bildet eine KnotenmengeV′ ⊆V eineKnoten¨uberde- ckung, wenn jede Kante inE mindestens einen Knoten ausV′ enth¨alt.
Wir definieren die MengenClique,Independent Set (IS) undVertex Cover (VC) durch Clique :={(G, k)|Gist ein ungerichteter Graph mit einer
Clique mitk Knoten,k∈N},
IS :={(G, k)|Gist ein ungerichteter Graph mit einer
unabh¨angigen Knotenmenge mit kKnoten,k∈N}, VC :={(G, k)|Gist ein ungerichteter Graph mit einer
Knoten¨uberdeckung mitk Knoten,k∈N}.
a) Beweisen Sie, dassClique polynomial aufIS reduzierbar ist.
b) Beweisen Sie, dassIS polynomial aufVC reduzierbar ist.
c) Darf aus den Beweisen zu a) und b) geschlussfolgert werden, dass auchCliquepolynomial auf VC reduzierbar ist? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
