Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

(1)

Institut fur Informatik WS 2007/18 der Universitat Munchen

Dr. J. Johannsen 23. November 2017

Ubungen zur Vorlesung Komplexit¨ atstheorie

Blatt 2

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

1. Zeigen Sie zuerst, dass 2 -UNSAT NL -schwer ist, indem Sie das Erreich- barkeitsproblem darauf reduzieren.

2. Anschliessend zeigen Sie, dass 2 -UNSAT in NL ist. Hinweis: deniere zu einer Formel F in 2 -KNF einen geeigneten Graphen G , so dass sich die Unerfullbarkeit von F durch die Existenz von Wegen in G ausdrucken lasst.

Aufgabe P-5: Diese Aufgabe soll den Unterschied zwischen NP und NL ver- deutlichen.

1. Zeigen Sie, dass folgendes Problem in L ist:

Gegeben: Formel F = C

₁_∧

. . .

_∧

C

_m

in KNF, Variablenbelegung α Frage: Ist F durch α erfullt, d.h., ist α(F) = 1 ?

2. Folgern Sie, dass ein Problem A in NP ist genau dann, wenn es eine Relation R(., .) ∈ L und k ∈ N gibt, mit

x ∈ A gdw. ∃y : | y | ≤ | x |

^k

und R(y, x) (∗) 3. Vergleichen Sie dies mit Proposition 1 aus Kapitel 2 der Vorlesung. Be-

grunden Sie, warum (∗) keine Charakterisierung von NL ergibt.

4. Uberlegen Sie, wie man eine zu Proposition 1 aus Kapitel 2 analoge Cha-

rakterisierung von NL erhalten kann.

(2)

Aufgabe P-6:

Bezeichne CFGEmpty das Leerheitsproblem fur kontextfreie Grammatiken, also das folgende Problem:

Gegeben: Kontextfreie Grammatik G

Frage: Gibt es einen Wort w , das aus G herleitbar ist, i.e., L(G) 6= ∅ ? Zeigen Sie, dass CFGEmpty vollstandig fur P ist.

Hausaufgaben:

Aufgabe H-3: Zeigen Sie, dass das Problem der 2 -Farbbarkeit von Graphen in NL ist.

Aufgabe H-4: Das Problem LinIneq ist deniert wie folgt:

Gegeben ist eine Menge E von linearen Ungleichungen in Variablen x

₁

, . . . , x

_n

mit ganzzahligen Koezienten. Die Frage ist, ob E eine rationale Losung hat, also ob es rationale Zahlen a

₁

, . . . , a

_n

∈ Q gibt, so dass E erfullt ist wenn fr i = 1 . . . n der Wert a

_i

fur x

_i

eingesetzt wird.

Es ist bekannt, dass das Problem LinIneq in P ist. Zeigen Sie, dass LinIneq schwer fur P ist, indem Sie zeigen dass Horn ≤

_log

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

Institut fur Informatik WS 2007/18 der Universitat Munchen

Dr. J. Johannsen 23. November 2017

Ubungen zur Vorlesung Komplexit¨ atstheorie

Blatt 2

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

1. Zeigen Sie zuerst, dass 2 -UNSAT NL -schwer ist, indem Sie das Erreich- barkeitsproblem darauf reduzieren.

2. Anschliessend zeigen Sie, dass 2 -UNSAT in NL ist. Hinweis: deniere zu einer Formel F in 2 -KNF einen geeigneten Graphen G , so dass sich die Unerfullbarkeit von F durch die Existenz von Wegen in G ausdrucken lasst.

Aufgabe P-5: Diese Aufgabe soll den Unterschied zwischen NP und NL ver- deutlichen.

1. Zeigen Sie, dass folgendes Problem in L ist:

Gegeben: Formel F = C

. . .

C

in KNF, Variablenbelegung α Frage: Ist F durch α erfullt, d.h., ist α(F) = 1 ?

2. Folgern Sie, dass ein Problem A in NP ist genau dann, wenn es eine Relation R(., .) ∈ L und k ∈ N gibt, mit

x ∈ A gdw. ∃y : | y | ≤ | x |

und R(y, x) (∗) 3. Vergleichen Sie dies mit Proposition 1 aus Kapitel 2 der Vorlesung. Be-

grunden Sie, warum (∗) keine Charakterisierung von NL ergibt.

4. Uberlegen Sie, wie man eine zu Proposition 1 aus Kapitel 2 analoge Cha-

rakterisierung von NL erhalten kann.

Aufgabe P-6:

Bezeichne CFGEmpty das Leerheitsproblem fur kontextfreie Grammatiken, also das folgende Problem:

Gegeben: Kontextfreie Grammatik G

Frage: Gibt es einen Wort w , das aus G herleitbar ist, i.e., L(G) 6= ∅ ? Zeigen Sie, dass CFGEmpty vollstandig fur P ist.

Hausaufgaben:

Aufgabe H-3: Zeigen Sie, dass das Problem der 2 -Farbbarkeit von Graphen in NL ist.

Aufgabe H-4: Das Problem LinIneq ist deniert wie folgt:

Gegeben ist eine Menge E von linearen Ungleichungen in Variablen x

, . . . , x

mit ganzzahligen Koezienten. Die Frage ist, ob E eine rationale Losung hat, also ob es rationale Zahlen a

, . . . , a

∈ Q gibt, so dass E erfullt ist wenn fr i = 1 . . . n der Wert a

fur x

eingesetzt wird.

Es ist bekannt, dass das Problem LinIneq in P ist. Zeigen Sie, dass LinIneq schwer fur P ist, indem Sie zeigen dass Horn ≤

LinIneq ist.

Abgabe der Hausaufgaben bis zum 07.12.2017 uber UniWorx.

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

Institut fur Informatik WS 2007/18 der Universitat Munchen

Dr. J. Johannsen 23. November 2017

Ubungen zur Vorlesung Komplexit¨ atstheorie

Blatt 2

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

1. Zeigen Sie zuerst, dass 2 -UNSAT NL -schwer ist, indem Sie das Erreich- barkeitsproblem darauf reduzieren.

2. Anschliessend zeigen Sie, dass 2 -UNSAT in NL ist. Hinweis: deniere zu einer Formel F in 2 -KNF einen geeigneten Graphen G , so dass sich die Unerfullbarkeit von F durch die Existenz von Wegen in G ausdrucken lasst.

Aufgabe P-5: Diese Aufgabe soll den Unterschied zwischen NP und NL ver- deutlichen.

1. Zeigen Sie, dass folgendes Problem in L ist:

Gegeben: Formel F = C

. . .

C

in KNF, Variablenbelegung α Frage: Ist F durch α erfullt, d.h., ist α(F) = 1 ?

2. Folgern Sie, dass ein Problem A in NP ist genau dann, wenn es eine Relation R(., .) ∈ L und k ∈ N gibt, mit

x ∈ A gdw. ∃y : | y | ≤ | x |

und R(y, x) (∗) 3. Vergleichen Sie dies mit Proposition 1 aus Kapitel 2 der Vorlesung. Be-

grunden Sie, warum (∗) keine Charakterisierung von NL ergibt.

4. Uberlegen Sie, wie man eine zu Proposition 1 aus Kapitel 2 analoge Cha-

rakterisierung von NL erhalten kann.

Aufgabe P-6:

Bezeichne CFGEmpty das Leerheitsproblem fur kontextfreie Grammatiken, also das folgende Problem:

Gegeben: Kontextfreie Grammatik G

Frage: Gibt es einen Wort w , das aus G herleitbar ist, i.e., L(G) 6= ∅ ? Zeigen Sie, dass CFGEmpty vollstandig fur P ist.

Hausaufgaben:

Aufgabe H-3: Zeigen Sie, dass das Problem der 2 -Farbbarkeit von Graphen in NL ist.

Aufgabe H-4: Das Problem LinIneq ist deniert wie folgt:

Gegeben ist eine Menge E von linearen Ungleichungen in Variablen x

, . . . , x

mit ganzzahligen Koezienten. Die Frage ist, ob E eine rationale Losung hat, also ob es rationale Zahlen a

, . . . , a

∈ Q gibt, so dass E erfullt ist wenn fr i = 1 . . . n der Wert a

fur x

eingesetzt wird.

Es ist bekannt, dass das Problem LinIneq in P ist. Zeigen Sie, dass LinIneq schwer fur P ist, indem Sie zeigen dass Horn ≤

LinIneq ist.

Abgabe der Hausaufgaben bis zum 07.12.2017 uber UniWorx.

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

Institut fur Informatik WS 2007/18 der Universitat Munchen

Ubungen zur Vorlesung Komplexit¨ atstheorie

Aufgabe P-4: Zeigen Sie dass das Problem 2 -UNSAT vollstandig fur NL ist.

2. Anschliessend zeigen Sie, dass 2 -UNSAT in NL ist. Hinweis: deniere zu einer Formel F in 2 -KNF einen geeigneten Graphen G , so dass sich die Unerfullbarkeit von F durch die Existenz von Wegen in G ausdrucken lasst.

in KNF, Variablenbelegung α Frage: Ist F durch α erfullt, d.h., ist α(F) = 1 ?

grunden Sie, warum (∗) keine Charakterisierung von NL ergibt.

4. Uberlegen Sie, wie man eine zu Proposition 1 aus Kapitel 2 analoge Cha-

Bezeichne CFGEmpty das Leerheitsproblem fur kontextfreie Grammatiken, also das folgende Problem:

Frage: Gibt es einen Wort w , das aus G herleitbar ist, i.e., L(G) 6= ∅ ? Zeigen Sie, dass CFGEmpty vollstandig fur P ist.

Aufgabe H-3: Zeigen Sie, dass das Problem der 2 -Farbbarkeit von Graphen in NL ist.

mit ganzzahligen Koezienten. Die Frage ist, ob E eine rationale Losung hat, also ob es rationale Zahlen a

∈ Q gibt, so dass E erfullt ist wenn fr i = 1 . . . n der Wert a

fur x

Es ist bekannt, dass das Problem LinIneq in P ist. Zeigen Sie, dass LinIneq schwer fur P ist, indem Sie zeigen dass Horn ≤

Abgabe der Hausaufgaben bis zum 07.12.2017 uber UniWorx.